Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh: $\sum \frac{a}{{b+{c^2}}}\ge\frac{3}{2}.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 21-07-2016 - 09:48

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-07-2016 - 09:51

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1648 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 21-07-2016 - 18:03

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$

Áp dụng BDT Bunhiacopxki ta có: $b+c^2\le \sqrt{(b^2+c^2)(1+c^2)}\le \frac{b^2+2c^2+1}{2}\le \frac{b^2+2c^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}{2}$

$=\frac{4b^2+7c^2+a^2}{6}(\text{ do } a^2+b^2+c^2\ge 3)$.

Khi đó: $\sum \frac{a}{b+c^2}\ge \sum \frac{6a}{4b^2+7c^2+a^2}$.

Áp dụng bài toán này: http://diendantoanho...7b2c2ge-frac12/.

Nên ta có dpcm.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#3 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 09-10-2016 - 22:17

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$

mạnh hơn 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}}{{b + {c^2}}} + \frac{b^{2}}{{c + {a^2}}} + \frac{c^{2}}{{a + {b^2}}} \ge \frac{9}{a+b+c+3}.$$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 09-10-2016 - 22:28


#4 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1648 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 10-10-2016 - 20:07

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$

Xem tại đây:http://www.artofprob...6h145137p821640


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh