Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh: $\sum \frac{a}{{b+{c^2}}}\ge\frac{3}{2}.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Làm BĐT, Hình học phẳng, Tổ hợp

Đã gửi 21-07-2016 - 09:48

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 21-07-2016 - 09:51

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 21-07-2016 - 18:03

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$

Áp dụng BDT Bunhiacopxki ta có: $b+c^2\le \sqrt{(b^2+c^2)(1+c^2)}\le \frac{b^2+2c^2+1}{2}\le \frac{b^2+2c^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}{2}$

$=\frac{4b^2+7c^2+a^2}{6}(\text{ do } a^2+b^2+c^2\ge 3)$.

Khi đó: $\sum \frac{a}{b+c^2}\ge \sum \frac{6a}{4b^2+7c^2+a^2}$.

Áp dụng bài toán này: http://diendantoanho...7b2c2ge-frac12/.

Nên ta có dpcm.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#3 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 09-10-2016 - 22:17

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$

mạnh hơn 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{a^{2}}{{b + {c^2}}} + \frac{b^{2}}{{c + {a^2}}} + \frac{c^{2}}{{a + {b^2}}} \ge \frac{9}{a+b+c+3}.$$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 09-10-2016 - 22:28


#4 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 10-10-2016 - 20:07

Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng: $$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}.$$

Xem tại đây:http://www.artofprob...6h145137p821640


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh