Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{b(a+c)}{c(a+b)}+\frac{c(b+d)}{d(b+c)}+\frac{d(a+c)}{a(c+d)}+\frac{a(b+d)}{b(d+a)} \geq 4$

bat dang thuc nhiều biến

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

1.Chứng minh $\frac{b(a+c)}{c(a+b)}+\frac{c(b+d)}{d(b+c)}+\frac{d(a+c)}{a(c+d)}+\frac{a(b+d)}{b(d+a)} \geq 4$, $\forall a,b,c>0$

2.Chứng minh $ \frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^3+c^3}+\frac{1}{a^3+d^3}+\frac{1}{c^3+b^3}+\frac{1}{d^3+b^3}+\frac{1}{c^3+d^3} \geq \frac{243}{2(a+b+c+d)^3}$, $\forall a,b,c,d \geq 0$

(Nếu được thì mọi người ghi rõ phương pháp giải cụ thể nha chứ đừng đưa ra lời giải như biết trước cách làm rồi!)

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cantho2015: 22-07-2016 - 14:33


#2
thinhnarutop

thinhnarutop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

1) Đặt đề bài là P

$P= (a+c)\left [ \frac{b}{c(a+b)}+\frac{d}{a(c+d)} \right ]+(b+d)\left [ \frac{c}{d(b+c)}+\frac{a}{b(d+a)} \right ]=(abc+abd+acd+bcd)\left [ \frac{a+c}{ac(a+b)(c+d)}+\frac{b+d}{bd(b+c)(a+d)} \right ]$$= (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})\left [ \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{c}+\frac{1}{d})}+\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{d}}{(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{a}+\frac{1}{d})} \right ]$

$\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})\left [ \frac{4(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})^{2}}+\frac{4(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})^{2}} \right ]=4$

Phương pháp: sử dụng BĐT AM-GM kết hợp với biến đổi tương đương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 22-07-2016 - 14:52

    "Life would be tragic if it weren't funny"

                               

                                -Stephen Hawking-

 


#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Lời giải câu a):

Đặt P là Vế trái của BĐT.

Viết lại P như sau:

$P=(a+c)[\frac{b}{c(a+b)}+\frac{d}{a(c+d)}]+(b+d)[\frac{c}{d(b+c)}+\frac{a}{b(d+a)}]$

$=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})[\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})}+\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{d}}{(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{1}{a}+\frac{1}{d})}]$

$\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})[\frac{4(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})^2}+\frac{4(\frac{1}{b}+\frac{1}{d})}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})^2}]\geq 4$

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=d$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bat dang thuc, nhiều biến

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh