Bài 1[Nơi thảo luận]:
Trong các ô của một bảng vuông ,ta viết các số $-1,0,1$ sao cho trong mỗi hàng cũng như trong mỗi cột ,có đúng một số $1$ và có đúng một số $-1$.Tại mỗi bước cho phép thực hiện phép biến đổi:Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột.Liệu có thể hay không,từ mỗi bảng như vậy, sau một số hữu hạn lần thực hiện phép biến đổi trên ta được một bảng,mà bảng này với bảng lúc đầu là đối nhau?(Hai bảng được gọi là đối nhau nếu tổng mỗi số được viết trong các hình vuông tương ứng là bằng $0$).
Bài 2[Nơi thảo luận]:
Tìm tất cả cặp đa thức $(P,Q)$ với hệ số thực ,sao cho, với vô hạn $ABC$ không phải là tam giác đều,$M,N$ là hai điểm nằm trong nó sao cho $3k=AB.BC.CA$.
b)Trung điểm của $MN$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.
Ngày thứ hai
Bài 4[Nơi thảo luận]:
Cho tam giác $ABC$ và $D$ là điểm thuộc cung $AB$(không chứa $C$) của $(ABC)$.$I_A,I_B$ tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $ADC,BDC$.Chứng minh rằng $(ABC)$ và $(I_AI_BC)$ tiếp xúc nhau khi và chỉ khi $\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC+CD}{BC+CD}$.
Bài 5[Nơi thảo luận]:
Chứng minh rằng với mỗi $3$ số thực dương $a,b,c$ ta có $p>2$ là số nguyên tố.Tìm số các tập con của tập $\{1,2,...,p-1\}$ sao cho tổng các phần tử của nó chia hết cho $p$.
Ngày thứ ba
Bài 7[Nơi thảo luận]:
Các điểm $D,E$ nằm trên các cạnh $AB,AC$ tương ứng của tam giác $ABC$ sao cho $DE||BC$.$(ADE)$ giao với $BE,CD$ tại $M,N$ tương ứng.Các đường thẳng $AM,AN$ giao với $[BC]$ tại $P,Q$ tương ứng sao cho $BC=2PQ$ và $P$ nằm giữa $B,Q$.Chứng minh rằng $(ADE)$ đi qua giao điểm của $BC$ và phân giác trong đi qua $A$ của tam giác $ABC$.
Bài 8[Nơi thảo luận]:
a)Cho $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ là dãy các số nguyên lớn hơn $1$. Chứng minh rằng nếu $x>0$ là số vô tỉ thì $n$,ở đây $x_n$ là phần lẻ của $a_na_{n-1}...a_1x$.
b)Tìm tất cả dãy $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ các số nguyên dương, sao cho tồn tại vô hạn $x\in(0;1)$ thỏa mãn $n$.
Bài 9[Nơi thảo luận]:
Cho $M$ là tập $n$ số nguyên tố đầu tiên.Với mỗi tập con khác rỗng $X$ của $M$ kí hiệu $P(X)$ là tích các phần tử của $X$.Giả sử $N$ là tập mà các phần tử của nó có dạng $7$ phần tử bất kì của nó là số nguyên.Hỏi $N$ có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
Ngày thứ tư
Bài 10[Nơi thảo luận]:
Tìm tất cả dãy các số nguyên dương $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ sao cho $a_4=4$ và $\dfrac{1}{a_1a_2a_3}+\dfrac{1}{a_2a_3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{a_na_{n+1}a_{n+2}}=\dfrac{(n+3)a_n}{4a_{n+1}a_{n+2}}$ với mỗi số nguyên dương $a,b$ kí hiệu $d(a,b)$ là số các ước của $a$ lớn hơn hoặc bằng $b$. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $d(3n+1,1)+d(3n+2,2)+\ldots+d(4n,n)=2006$.
Bài 12[Nơi thảo luận]:
$n$ là các số nguyên dương cho trước,và $M$ là một $2n+1$-giác đều.Tìm số các $m$-giác lồi với các đỉnh của nó là các đỉnh của $M$ và nó có ít nhất một góc nhọn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-08-2009 - 10:52
