Chủ đề này có 1 trả lời

[issacband365]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm min của biểu thức $p=\frac{a^{3}}{b^{2}+1}+\frac{b^{3}}{c^{2}+1}+\frac{c^{3}}{a^{2}+1}$

[happyfree]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm min của biểu thức $p=\frac{a^{3}}{b^{2}+1}+\frac{b^{3}}{c^{2}+1}+\frac{c^{3}}{a^{2}+1}$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có :

$P=\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1}=\frac{a^4}{ab^2+a}+\frac{b^4}{bc^2+b}+\frac{c^4}{ca^2+c} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab^2+bc^2+ca^2+a+b+c}$

$a+b+c=abc(a+b+c) \leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3} \leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}          (3)$

$ab^2+bc^2+ca^2 \leq \frac{b^2(a^2+1)}{2}+\frac{c^2(b^2+1)}{2}+\frac{a^2(c^2+1)}{2}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2}{2}$

Có $a^2+b^2+c^2 \geq 3$ (hiển nhiên đúng theo $AM-GM$)

Suy ra $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2)       (1)$

Có $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)        (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2 \leq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

Suy ra $ab^2+bc^2+ca^2 \leq \frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2}{2} \leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}            (4)$ 

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $ab^2+bc^2+ca^2+a+b+c \leq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$

Suy ra $P \geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 24-07-2016 - 01:37