Chủ đề này có 2 trả lời

[mathslover]

Cho x,y,z là 3 số thực dương. Chứng minh rằng:

 $(xy)^{2}+(xz)^{2}+(yz)^{2}\leq x^{3}y+ y^{3}x+z^{3}x$

[Nguyenhuyen_AG]

Bất đẳng thức sai không đúng trong điều kiện các biến là số thực dương. Nó đúng nếu $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của tam giác.

[vuchidung110]

Nếu $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác thì ta có 1 lời giải khá đẹp như sau:

Chia cả 2 vế của bất đẳng thức đề bài cho $xyz>0$ ,ta có:

       $\sum \frac{x^{2}}{z}\geq \sum \frac{xy}{z}(1)$

<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}\geq \sum x$

Áp dụng bất đẳng thức CBS có:

       $\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{z}= \sum \frac{x^{2}\left ( x+z-y \right )^{2}}{xz\left ( x+z-y \right )}\geq \frac{(\sum x^2)^{2} }{\sum xz\left ( x+z-y\right )}$

<=>$\sum \frac{x\left ( x+z-y \right )}{y} \geq \frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz}$

Giờ ta phải chứng minh:  

       $\frac{\left ( x^2 \right )^{2}}{\sum xz\left ( x+z \right )-3xyz} \geq \sum x$

<=>$(\sum x ^{2})^2\geq \left (\sum xz\left ( x+z \right ) -3xyz \right )\left ( \sum x \right )$

Khai triển bất đẳng thức trên ra, ta được:

      $\sum x^4+xyz\left ( \sum x \right )\geq \sum xy\left ( x^2+y^2 \right )$

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 4 và ta có ĐPCM.

      Dấu bằng xảy ra<=>$x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuchidung110: 29-07-2016 - 15:32