Cho $m,n$ là hai số lẻ với $m>n>1$ thoả mãn: $m^{2}-n^{2}+1|n^{2}-1$. Chứng minh: $m^{2}-n^{2}+1$ là số chính phương.
$m^2-n^2+1\mid n^2-1=-(m^2-n^2+1)+m^2 \iff m^2-n^2+1\mid m^2$
$\Longrightarrow $ Tồn tại số $k$ nguyên dương sao cho: $m^2=k(m^2-n^2+1)$ $(1)$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $k$ là số chính phương
Đặt $x=\frac{m+n}{2}$ và $y=\frac{m-n}{2}$
$(1)\iff \left ( \frac{m+n}{2}+\frac{m-n}{2} \right )^2=k\left ( 4.\frac{(m+n)}{2}\frac{(m-n)}{2}+1 \right )$
$\iff (x+y)^2=k(4xy+1)\iff x^2+x(2y-4ky)+y^2-k=0$ $(2)$
Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ nhỏ nhất
Theo Vieta, ngoài nghiệm $x$ thì $(2)$ còn nghiệm $t$ nguyên thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} t+x=4ky-2y\\ tx=y^2-k\end{matrix}\right.$
Nếu $y^2-k>0:$
Dễ thấy $t>0\Longrightarrow t\geqslant x\geqslant y$ (vì $x+y$ nhỏ nhất)
$\Longrightarrow t+x=4ky-2y\leqslant 2t \iff 2kxy-xy\leqslant tx$
$\iff 2kxy-xy\leqslant y^2-k \iff k\leqslant \frac{y^2+xy}{2xy+1}\leqslant 1$
$\Longrightarrow k=1\iff n=1$ (vô lí)
Nếu $y^2-k<0\Longrightarrow t<0$
$\Longrightarrow t^2+t(2y-4ky)+y^2-k=(t+y)^2-k(1+4ty)>0$ (vô lí vì $t$ là nghiệm của $(2)$)
Vậy $y^2-k=0\iff k=y^2$ là số chính phương (đpcm)