Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $m^{2}-n^{2}+1$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
LeBaKhanh

LeBaKhanh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Cho $m,n$ là hai số lẻ với $m>n>1$ thoả mãn: $m^{2}-n^{2}+1|n^{2}-1$. Chứng minh: $m^{2}-n^{2}+1$ là số chính phương.

 

Cho $m,n$ là hai số lẻ với $m>n>1$ thoả mãn: $m^{2}-n^{2}+1|n^{2}-1$. Chứng minh: $m^{2}-n^{2}+1$ là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeBaKhanh: 24-07-2016 - 18:15


#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho $m,n$ là hai số lẻ với $m>n>1$ thoả mãn: $m^{2}-n^{2}+1|n^{2}-1$. Chứng minh: $m^{2}-n^{2}+1$ là số chính phương.

$m^2-n^2+1\mid n^2-1=-(m^2-n^2+1)+m^2 \iff m^2-n^2+1\mid m^2$

$\Longrightarrow $ Tồn tại số $k$ nguyên dương sao cho: $m^2=k(m^2-n^2+1)$ $(1)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $k$ là số chính phương

Đặt $x=\frac{m+n}{2}$ và $y=\frac{m-n}{2}$

$(1)\iff \left ( \frac{m+n}{2}+\frac{m-n}{2} \right )^2=k\left ( 4.\frac{(m+n)}{2}\frac{(m-n)}{2}+1 \right )$

$\iff (x+y)^2=k(4xy+1)\iff x^2+x(2y-4ky)+y^2-k=0$ $(2)$

Cố định tập nghiệm, giả sử $x\geqslant y$ và $x+y$ nhỏ nhất

Theo Vieta, ngoài nghiệm $x$ thì $(2)$ còn nghiệm $t$ nguyên thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} t+x=4ky-2y\\ tx=y^2-k\end{matrix}\right.$

Nếu $y^2-k>0:$

Dễ thấy $t>0\Longrightarrow t\geqslant x\geqslant y$ (vì $x+y$ nhỏ nhất)

$\Longrightarrow t+x=4ky-2y\leqslant 2t \iff 2kxy-xy\leqslant tx$

$\iff 2kxy-xy\leqslant y^2-k \iff k\leqslant \frac{y^2+xy}{2xy+1}\leqslant 1$

$\Longrightarrow k=1\iff n=1$ (vô lí)

Nếu $y^2-k<0\Longrightarrow t<0$ 

$\Longrightarrow t^2+t(2y-4ky)+y^2-k=(t+y)^2-k(1+4ty)>0$ (vô lí vì $t$ là nghiệm của $(2)$)

Vậy $y^2-k=0\iff k=y^2$ là số chính phương (đpcm)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh