Chủ đề này có 2 trả lời

[Minhnguyenthe333]

(AoPS) Tìm cặp $(a,b)$ nguyên dương sao cho $a^2-b\mid ab$

P/S: bài này hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 24-07-2016 - 20:20

[tay du ki]

(AoPS) Tìm cặp $(a,b)$ nguyên dương sao cho $a^2-b\mid ab$
P/S: bài này hay

có phải tìm a, b để ab chia hết cho a bình trừ b không bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tay du ki: 25-07-2016 - 09:46

[Minhnguyenthe333]

Đặt $z=\frac{ab}{a^2-b}$
$a^2-b\mid ab<=>ab\geqslant a^2-b<=>b\geqslant \frac{a^2}{a+1}$
Kéo theo $b\geqslant \left \lceil \frac{a^2}{a+1} \right \rceil=a$
TH1:$ a \mid b$
Ta đặt $b=ka$ suy ra $z=\frac{ak}{a-k}<=>\frac{1}{z}+\frac{1}{a}=\frac{1}{k}$$<=>a\mid zk$ $<=>\left\{\begin{matrix} a\mid z\\ \frac{a}{k} \mid z \end{matrix}\right.$
Bổ đề:

Spoiler

Với phương trình dạng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{k}$ ($x,y,k$ nguyên dương)
Xét trường hợp $x\mid y:$
Đặt $d=GCD(x,k)$
Nếu $d=1$ thì $y=x(x-1)$
Nếu $d\neq 1$ thì $\left\{\begin{matrix}y=\frac{xk}{d}\\ x=k+d\end{matrix}\right.$

Chứng minh:

Spoiler

Giả sử $y\geqslant x$
$<=>y-k=\frac{ky}{x}<=>x \mid y<=>y=ax$ hoặc $\frac{x}{k} \mid y$
$1)$ $x\mid y$
$<=>\frac{1}{x}+\frac{1}{ax}=\frac{1}{k}<=>\frac{a+1}{a}=\frac{x}{k}$ $(2)$
Do $(a+1,a)=1$ nên xảy ra 2 trường hợp:
Đặt $d=(x,k):$
$TH1: d=1<=>a+1=x$ và $a=k$ $<=>y=(x-1)x$

$TH2: d\geqslant 2<=>x=dn$ và $k=dt$ ( với $n,t$ nguyên dương và $(n,t)=1$)
$=>\frac{a+1}{a}=\frac{n}{t}<=>a=t$ và $a+1=n$ $<=>t=n-1$
$<=>x=dn$ và $k=d(n-1)$
$<=>y=ax=adn$

Thay vào $(1)$ suy ra $\frac{1}{dn}+\frac{1}{adn}=\frac{1}{d(n-1)}<=>a=n-1$
$=>y=x(n-1)=x(\frac{x}{d}-1)=\frac{x(x-d)}{d}$
Thay vào $(2)$ suy ra $k=\frac{x(n-1)}{n}$
mà $x=dn$ nên $k=x-d<=>x=d+k$
$=>y=\frac{xk}{d}$

Áp dụng bổ đề trên:
Nếu $a\mid z$ thì ta đặt $d=\gcd(a,k)$
$d=1$ kéo theo $z=a(a-1)$ hay $(a,b)=(l,l^2-l)$ với mọi $l\in \mathbb{Z^+}$
$d\neq 1$ kéo theo $(a,b)=(l,\frac{l^2(v-1)}{v})$ với $l,v \in \mathbb{Z^+}$

Nếu $\frac{a}{k} \mid z$ tức $k\mid a$ thì tồn tại số $x$ sao cho $kx=a<=>b=k^2x$
$=>z=\frac{kx}{x-1}<=>x-1 \mid k$ nên $(a,b)=(\frac{x^2}{h}+x,\frac{x^3}{h}+x^2)$
TH2: $a \nmid b$ và $(a,b)=1$
Ta có $a^2-b \mid ab<=> a^2-b \mid a^3$
Đặt $t=\frac{a^3}{a^2-b}<=>a^3=ta^2-tb$ kéo theo $a^2\mid kb$
Do $(a,b)=1$ nên $a^2\mid t$ hoặc $t\mid a^2$
Nếu $a^2\mid t:$
$=>a^2-b \mid a$ kéo theo $a^2-b=\pm 1$ hay $(a,b)=(m,m^2+1);(m,m^2-1)$
Nếu $t\mid a^2:$
$=>\frac{a^2}{t}=a-\frac{b}{a}$ kéo theo $a \mid b$ (vô lí)

Vậy$...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 27-07-2016 - 09:41