13. Cycloid (đường bánh xe cycloid)
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục Ox. Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục Ox, điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid.
Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường cong gọi tên là curtate cycloid. Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có chu vi là C thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài 4 C.
Cycloid là quỹ tích của một điểm có khoảng cách h từ tâm của một đường tròn bán kính a có thể lăn không trượt dọc theo một đường thẳng.
- Nếu h < a nó là một cycloid curtate.
- Nếu h > a nó là một cycloid prolate.
- Nếu h = a nó là một cycloid được vẽ ở trên.
Cusa lần đầu tiên nghiên cứu cycloid khi ông đã cố gắng để tìm diện tích của một vòng tròn bằng cách tích phân. Mersenne đã đưa ra định nghĩa thích hợp của cycloid và nêu các tính chất rõ ràng , chẳng hạn như độ dài của các bán kính cơ sở tương đương với chu vi của vòng tròn lăn. Mersenne cũng đã cố gắng để tìm diện tích giới hạn bởi đường cong cycloid nhưng không thành công. Ông đặt ra các câu hỏi để các nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu .
Galileo đặt tên cho đường cong này vào năm 1599. Năm 1639, ông đã viết cho Torricelli về cycloid, nói rằng ông đã nghiên cứu các thuộc tính của nó trong suốt 40 năm. Galileo đã cố gắng để tìm diện tích cycloid bằng cách so sánh diện tích của vòng tròn tạo ra nhưng đã không thành công. Mersenne đưa ra bài toán diện tích cycloid cho Roberval năm 1628, và mặc dù ông đã thất bại lúc đầu, bài toán này đã được Roberval giải quyết năm 1634. Nếu h = a diện tích giới hạn bởi một cung cycloid là . Năm 1658 Pascal, sau một thời kỳ dành cho nghiên cứu tôn giáo, ông bắt đầu suy nghĩ về các vấn đề trong lĩnh vực toán học. Ông đã giải quyết bài toán diện tích và trọng tâm của một cung cycloid bất kỳ,các bài toán về diện tích và thể tích vật thể tròn xoay khi quay cycloid quanh trục Ox.
Năm 1696 Johann Bernoulli, trong Acta eruditorum, đã đưa ra bài toán xét xem những đường cong nào đáp ứng các tính chất brachistochrone. Ông tìm được các tính chất brachistochrone của cycloid và công bố lời giải của mình vào năm 1697. Leibniz, Newton, Bernoulli và de L'Hôpital cũng tập trung nghiên cứu về vấn đề này. Đây là một trong những bài toán biến phân đầu tiên và việc khảo sát này là khởi điểm cho sự phát triển phép tính biến phân (the calculus of variations).Cả hai đường pháp bao ngoài (evolute) và trong (involute) của cycloid đều là một cycloid đồng dạng. Trong thực tế bài toán về đường pháp bao ngoài (evolute) được nghiên cứu bởi Huygens, và cũng từ công trình về cycloid Huygens đã phát triển lý thuyết chung của đường pháp bao ngoài (evolute) của các đường cong.