Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 61 trả lời

#21 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:22

21. Equiangular Spiral (đường xoắn ốc đẳng giác)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 5a29746204e84729a99fc7050f489f3c.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường xoắn ốc đẳng giác được phát minh bởi Descartes năm 1638. Trong công trình nghiên cứu độc lập của Torricelli ông cũng đã tìm thấy chiều dài của đường cong này.

200px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
Đường xoắn ốc đẳng giác và cát tuyến của nó

Nếu P là điểm bất kỳ trên đường xoắn ốc thì chiều dài của đường xoắn ốc từ P đến tâm đường cong là hữu hạn, khoảng cách từ P đến cực là d.sec(b) với d là khoảng cách của vector bán kính OP. Jacob Bernoulli vào năm 1692 đã gọi tên đường cong là Spira mirabilis và nó được khắc trên ngôi mộ của ông ở Basel. Hiện tượng tự nhiên này thường xảy ra ở nhiều nơi như vỏ sò, vỏ ốc biển, khi sự phát triển của sinh vật là tỷ lệ thuận với kích thước của sinh vật ấy. Trong cuốn sách " Sự tăng trưởng và hình dạng " của mình, Thompson D'Arcy đã dành cả một chương để đường cong này và mô tả điều xảy ra trong thiên nhiên như là kết quả của cuộn tròn một hình nón trên chính nó, hình ảnh này tương phản với các hình xoắn ốc của Archimedes được hình thành bằng cách cuộn một hình trụ. Đường xoắn ốc tạo ra một góc không đổi b với bất kỳ vector bán kính nào. Trong trường hợp đặc biệt, khi b = π / 2 ta có được một đường tròn. Đối với các đường cong được hiển thị ở trên thì b = 7π/16. Vì vậy chiều dài của đường cong từ một điểm ở khoảng cách d tính từ điểm gốc cùng một vector bán kính là khoảng 5,126 d. Johann Bernoulli cũng đã chứng minh rằng đường pháp bao ngoài (evolute) và trong (involute) của đường xoắn ốc đẳng giác là một đường xoắn ốc đẳng giác đồng dạng.

200px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
magnify-clip.png
Đường pháp bao ngoài của đường xoắn ốc đẳng giác
250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
magnify-clip.png
Đường xoắn ốc đẳng giác với góc 2760844ffdc4cb92ba32614db8f0cecf.png

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#22 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:23

22. Fermat’s Spiral (Đường xoắn ốc Fermat)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 73f3c40b25a0f3c926aef4f3d68cb4e0.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường xoắn ốc này đã được Fermat tìm ra năm 1636.

Đối với bất kỳ giá trị θ dương, hàm có hai giá trị tương ứng của r, một có giá trị dương và một mang những giá trị âm có cùng trị tuyệt đối. Do đó các đường xoắn ốc sẽ đối xứng qua đường phân giác thứ hai y = – x như có thể thấy từ những đường cong hiển thị ở trên.

Đường nghịch đảo của Spiral Fermat, khi chọn cực là tâm nghịch đảo cũng là một đường xoắn ốc có phương trình 97f97a7962846524fed6665f43465ace.png


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#23 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:24

23. Folium (Đường hình lá)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: 82f248d43dbcff6d1c66d79b658b24a4.png

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 068aac0cb35525ac5ba2ba02b9603666.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Dạng tổng quát của folium được cho bởi công thức trên. Folium có nghĩa là hình lá. Có ba dạng đặc biệt của folium: folium đơn, folium đôi và folium ba. tương ứng với các trường hợp 14b5d7c312ed5cb1e0542b48ced9de02.png Các biểu đồ được vẽ ở trên là folium đơn giản.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#24 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:25

24. Folium of Descartes (Đường hình lá Descartes)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: bce9b0627ce5d37e5d1cc4f96bc30759.png

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes: dcffac1340fa004342ef1a06c3e9669a.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường hình lá này đầu tiên được Descartes đề cập đến vào năm 1638, ông đã tìm thấy hình dạng chính xác của đường cong ở phần tư thứ nhất góc tọa độ, nhưng ông lại cho rằng hình dạng lá này được lặp đi lặp lại trong mỗi phần tư góc toạ độ còn lại như cánh của bông hoa. Đồ thị đường cong này đối xứng qua phân giác thứ nhất y = x. Bài toán xác định các tiếp tuyến với đường cong đã được đề xuất bởi Roberval, là người cũng sai khi tin rằng đường cong có dạng một bông hoa nhài. (tên gọi Fleur de jasmin - sau đó đã được thay đổi). Đường cong này đôi khi được gọi là đường de noeud ruban. Khi Fermat phát hiện ra phương pháp tìm tiếp tuyến, Descartes đã thách thức Fermat viết phương trình tiếp tuyến với đường cong này tại một điểm tùy ý. Fermat giải quyết bài toán này rất dễ dàng, và đó là điều mà Descartes đã không thể giải được.

Folium có một đường tiệm cận 59b40618dfdf346948b358fddd93a5ff.png.

Các phương trình tiếp tuyến tại điểm t = p là a20511999409f21051c72d3a362482f0.png

Đường cong đi qua gốc O lần thứ nhất tại t = 0 và tiến về gốc O lần thứ hai khi e5a6dc8b8844417d25b780e5f661badf.png


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#25 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:26

25. Freeth’s Nephroid (Đường cong Nephroid Freeths)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 4650b419840df4e20eed31ac0817449d.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đây là đường cong strophoid của một đường tròn với cực O là tâm và điểm P cố định trên chu vi của đường tròn.Trong hình ở trên, O là gốc và P là nút nơi đường cong đi qua ba lần.

Nếu đường thẳng qua P song song với trục y cắt nephroid tại A khi đó a487ba991fd7a3d269df3d67dab24bae.pngĐiều này có thể được sử dụng để dựng một đa giác đều 7 cạnh. T.J. Freeths (1819-1904) là một nhà toán học Anh. Trong bài báo được xuất bản bởi Hội Toán học London vào năm 1879 ông đã mô tả đặc điểm của những strophoids khác nhau, bao gồm cả strophoid trisectrix.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#26 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:28

26. Frequency Curve (Đường cong tần số)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: 21c9987ec12fdb4f59357a44fb6739ff.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường cong này còn được gọi đường cong sai số chuẩn tắc, do nhà toán học de Moivre phát hiện ra năm 1733. Nó cũng đã được Laplace và Gauss nghiên cứu về nhiều lĩnh vực.Tên gọi đường cong tần số cũng được áp dụng cho một loạt các đường cong khác.

Vài nét về các nhà toán học có công nghiên cứu về đường cong tần số:

300px-Abraham-de-Moivre.jpg
magnify-clip.png
Abraham de Moivre (1667 - 1754)

+ De Moivre là nhà toán học Pháp, người tiên phong trong lĩnh vực hình học giải tích và lý thuyết xác suất.

300px-Carl-Friedrich-Gauss.jpg
magnify-clip.png
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)

+ Carl Friedrich Gauss, nhà bác học Đức, đã có rất nhiều công trình đóng góp cả về toán và vật lý. Có thể kể như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, lý thuyết đo đạc, từ tính học, thiên văn học và quang học. Những công trình của Carl Friedrich Gauss đã có ảnh hưởng rất sâu sắc trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

300px-Pierre-Simon-Laplace.jpg
magnify-clip.png
Pierre Simon Laplace (1749 - 1827)

+ Pierre-Simon Laplace đã chứng minh tính ổn định của thái dương hệ. Trong lĩnh vực giải tích ông đã giới thiệu hàm thế và các hệ số Laplace. Ông cũng là người đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất toán học.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#27 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:29

27. Hyperbola (Đường cong Hyperbole)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: 05b577ef6862a1129098c692387b688a.png

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes: 26030ca49601edfa54b36ca2cfeef4ef.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Một trường hợp đặc biệt của hyperbola lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Menaechmus. Trường hợp đặc biệt này hyperbola có 2 tiệm cận vuông góc và phương trình của nó là be5355d704e962aa73d0c9d42817b2a8.png (còn được gọi là một hyperbola hình chữ nhật)

Euclid và Aristaeus viết về các hyperbola tổng quát nhưng chỉ tập trung nghiên cứu một nhánh của nó, trong khi các hyperbola có được tên gọi hiện nay là do Apollonius, người đầu tiên nghiên cứu hai nhánh của hyperbola. Pappus cũng khảo sát tiêu điểm và đường chuẩn của một hyperbola.

Đường pháp bao ngoài của hyperbola với phương trình ở trên là đường cong Lame:

1cb1c213b626e18dacf84629e30ce9cb.png

Apollonius-of-Perga.jpg
magnify-clip.png
Apollonius of Perga (Khoảng 262 BC đến 190 BC)

+ Apollonius of Perga được biết đến như một " nhà hình học vĩ đại ". Có rất ít tư liệu về cuộc sống của ông, nhưng các công trình của Apollonius đã ảnh hưởng rất lớn về sự phát triển của toán học - đặc biệt nhất là cuốn sách nổi tiếng Conics, đã giới thiệu các khái niệm rất quen thuộc với chúng ta ngày nay như parabola, hyperbola và ellipse.

Conics.gif
350px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#28 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:30

28. Hyperbolic Spiral (Đường xoắn ốc Hyperbolic)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: c41d2f635b2eb1879a6c5c950ad61634.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường xoắn ốc hyperbolic có nguồn gốc với Pierre Varignon vào năm 1704. Nó được Johann Bernoulli nghiên cứu từ năm 1710 và 1713 và Cotes năm 1722. Đường Roulette của cực đường xoắn ốc hyperbolic lăn không trượt trên một đường thẳng là một tractrix. Pierre Varignon (1654-1722) là giáo sư toán học tại Collège Mazarin và sau đó là tại Collège Hoàng gia. Con đường đưa Pierre Varignon đến toán học là khi ông đọc tác phẩm Euclid, ông cũng đọc Géométrie Descartes ', và sau đó ông quyết định cống hiến sự nghiệp mình cho khoa học và toán học. Ông là một trong những học giả người Pháp đầu tiên nhận ra giá trị của bộ môn giải tích. Những đóng góp chính của ông là trong lĩnh vực cơ học.

Nếu điểm cực là tâm của phép nghịch đảo, thì đường xoắn ốc hyperbolic c41d2f635b2eb1879a6c5c950ad61634.png đảo ngược thành đường xoắn ốc Archimedes 667cfe035873312a94ab97971c64033a.png.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#29 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:32

29. Hypocycloid (Đường cong Hypocycloid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

1a8142e83f6f11cd93a97385b5d460aa.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với nhau. Đó là epicycloid, epitrochoid, hypocycloid và hypotrochoid và đều được vẽ từ một điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính cố định a. Đối với hypocycloid, là một ví dụ trong số đó được hiển thị ở trên, đường tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của vòng tròn bán kính b. Đối với ví dụ trên đây ta có a = 5 và b = 3.(a > b)

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-
250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Những đường cong này đã được nghiên cứu bởi Dürer (1525), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (năm 1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).

Trường hợp đặc biệt là 3b = a khi đó ta thu được tricuspoid và khi 4b = a ta có đường astroid.

Đặt k = a / b khi đó đồ thị hypocycloid có dạng

300px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
300px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Dưới đây là một trình Java minh họa Epicycloid và Hypocycloid. Di chuyển các thanh màu vang, tím, xanh và xanh cây để xem đồ thị các đường cong tương ứng.

300px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

30. Hypotrochoid (Đường cong Hypotrochoid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

379b839345c28455bd1ab77fd8799810.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Những đường cong này được nghiên cứu bởi La Hire, Desargues, Leibniz, Newton và nhiều người khác.

Có bốn đường cong liên quan chặt chẽ với nhau. Đó là epicycloid, epitrochoid, hypocycloid và hypotrochoid và đều được vẽ từ một điểm P trên một vòng tròn bán kính b cuộn quanh một vòng tròn bán kính a cố định.

Đối với hypotrochoid, là một ví dụ trong số đó được hiển thị ở trên, vòng tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách c tính từ tâm của vòng tròn bán kính b. Trong ví dụ này a = 5, b = 7 và c = 2,2. Một số đồ thị và clip mô tả chuyển động hypotrochoid.

300px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
Hypotroc1.gif

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#30 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:33

31. Involute of a Circle (Đường pháp bao trong của đường tròn)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

73bc01d66a9eefb9f01f5b7ec1ab4808.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường pháp bao trong của một đường tròn là quỹ tích tạo ra bởi một điểm trên một đường thẳng cuộn xung quanh một vòng tròn. Huygens đã nghiên cứu đường cong này khi ông cố gắng tìm những chiếc đồng hồ không có quả lắc có thể dùng được trên tàu biển. Ông đã vận dụng tính chất đường pháp bao trong của đường tròn cho đồng hồ quả lắc với nỗ lực cưỡng bức con lắc chuyển động theo quỹ đạo của một cycloid.

Phát minh ra một chiếc đồng hồ giữ thời gian chính xác trên biển là một vấn đề lớn và việc tìm một giải pháp đã được đặt ra trong nhiều năm. Vấn đề này có tầm quan trọng sống còn vì nếu biết được giờ GMT thì sau đó, giờ địa phương và kinh độ có thể dễ dàng tính được từ mặt trời.

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-Phan-

Ứng dụng: Leonhard Euler đề xuất sử dụng đường pháp bao trong của đường tròn cho hình dạng răng cưa của bánh răng toothwheel, một trong những ứng dụng phổ biến hiện nay, được gọi là bánh răng trong.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#31 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:35

32. Kampyle Eudoxus (Đường cong Kampyle Eudoxus)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: 5d9c13f11a8dfdbdfa38a5413e982886.png

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 9b59e61d9874369d8129b351118aa44d.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đây là đường cong được nghiên cứu bởi Eudoxus liên quan đến bài toán cổ điển về nhân đôi khối lập phương.

Eudoxus là một học trò của Plato. Công trình chính của ông là trong lĩnh vực thiên văn học. Ông là người đầu tiên mô tả các chòm sao và đã phát minh ra thiên văn kế. Ông cũng giới thiệu các đề tài nghiên cứu về thiên văn-toán học vào Hy Lạp.

Eudoxus tìm thấy công thức để đo kim tự tháp hình nón và hình trụ. Tác phẩm của ông chứa các cơ sờ về tính toán cùng với nhiều nghiên cứu rất chặt chẽ về phương pháp khử (vét cạn).

Chú thích: - Không nên nhầm lẫn với Eudoxus Cyzicus


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#32 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:36

33. Kappa Curve (Đường cong Kappa)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

b3ecdd754adaff10cf169be098e0259a.png


Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 97e92e8c0e594c5a23c2e2a06fb19f2a.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Các đường cong kappa cũng gọi là đường cong Gutschoven. Lần đầu tiên được nghiên cứu bởi G. Van Gutschoven khoảng 1662. Các đường cong này cũng được Newton nghiên cứu và một số năm sau đó bởi Johann Bernoulli.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#33 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:37

34. Lamé Curve (Đường cong Lamé)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: 1fe26e76c96bb23eefe8c7a4e2ff8f83.png

280px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Năm 1818, Lame thảo luận về các đường cong này với phương trình ở trên. Ông khảo sát các đường cong tổng quát hơn với n là số nguyên. Nếu n là hữu tỷ thì đường cong có tính đại số, nhưng n vô tỷ thì đường cong có tính siêu việt.

  • Các đường cong được vẽ ở trên là trường hợp n = 4. Đối với số mũ nguyên n đường cong tiệm cận với một hình chữ nhật khi ef448529bb0fd823fa4aa6239bbab922.png .
  • Các trường hợp đặc biệt khi n = 2/3 đường cong là Astroid, khi n = 3 ta có đường cong thường được gọi là đường phù thuỷ Agnesi.
250px-Gabriel-Lame.jpeg
magnify-clip.png
Gabriel Léon Jean Baptiste Lamé (22/07/1975 - 01/05/1870)
  • Các trường hợp n = 5/2 dường cong có tên gọi là (siêu ellipse) superellipse _ liên quan đến kiến trúc sư - nhà thơ Piet Hein người Đan Mạch (ông cũng là nhà phát minh của khối vuông Soma) _đã được sử dụng cho nhiều mục đích, kể cả trong tính toán cầu, đường cao tốc và các ứng dụng kiến trúc khác.
280px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#34 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:38

35. Lemniscate of Bernoulli (Đường cong Lemniscate Bernoulli)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: dac87d979247c6525da4faf985166dde.png

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: c7d5bf928813550975088c01b536e9b9.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Năm 1694, Jacob Bernoulli cho đăng một bài viết trong Acta Eruditorumon nói về một đường cong có hình dạng giống như số 8 (hình một nút, hoặc cái nơ của một ruy băng) mà ông gọi là lemniscus xuất phát từ tiếng Latin (một mặt dây ruy băng ').

250px-Jakob-Bernoulli.jpg
magnify-clip.png
Jacob Bernoulli (27/12/1654 - 16/08/1705)

Jacob Bernoulli đã không nhận thức rằng đường cong được mô tả này chỉ là một trường hợp đặc biệt của một đường Oval Cassinian đã được Cassini mô tả vào năm 1680. Các tính chất chung của lemniscate được phát hiện bởi của Giovanni Fagnano vào năm 1750. Các công trình khảo sát của Euler về độ dài của vòng cung của đường cong (1751) sau này đã dẫn đến việc nghiên cứu các hàm số elliptic. Phương trình lưỡng cực của lemniscate có dạng e227266e52a46945e9bb51a273c05a85.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

+ Giulio Fagnano Toschi, sinh tại Sinigaglia ngày 6 tháng 12 năm 1682, thuộc một gia đình quý tộc Marche là nhà toán học nổi tiếng với các thành tựu về bộ môn hình học.

Giulio-Fagnano-Toschi.jpg
magnify-clip.png
Giulio Fagnano Toschi (06/12/2014 - 26/09/1766)

Ông đã hoàn thành nghiên cứu đầu tiên tại trường Cao đẳng Clementine thành phố Rome. Mặc dù tự học toán, nhưng ông đã đạt được tầm cỡ quốc tế, nổi tiếng nhờ những đóng góp đáng kể về nhiều chủ đề khác nhau. Ông là người đề xuất phương pháp mới giải các phương trình II, III và IV và phát hiện ra công thức để tính toán trọng tâm tam giác. Trong số các nghiên cứu của ông về lemniscate, Fagnano giới thiệu các phép biến đổi giải tích từ đó đã có những đóng góp vào việc phát triển các hàm elliptic. Năm 1750 ông viết hai tuyển tập kết quả các công trình nghiên cứu có tựa đề "Sản xuất toán học" (Production Mathematics). Trong đó quan trọng nhất là những nghiên cứu về tổ hợp, đặc biệt về xổ số.

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
magnify-clip.png
8cc81e113b65b026061e9a3ca07cb2cb.png

Giulio Fagnano rất có công trong việc hỗ trợ cho một số nhà toán học trẻ đương thời, trong đó có Joseph Lagrange. Ông có 12 người con, John con ông, cũng là người đã theo bước chân của cha mình trong các lĩnh vực Toán học. Ông là thành viên của Hội Hoàng gia London và Viện Hàn lâm Khoa học Berlin. Fagnano mất tại thành phố quê hương của mình ngày 26 tháng 9 năm 1766 trước khi được bầu vào Académie des Sciences ở Paris.

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#35 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:39

36. Limacon of Pascal (Đường hình ốc Limacon Pascal)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: 6af213c3d15d91c10d961452c68d28f9.png

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 4508b3f24f3db88daabac054fa3fd1bc.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Limacon là đường cong thuộc họ anallagmatic.Đường cong Limacon Pascal được Étienne Pascal (cha của Blaise Pascal) phát hiện và đặt tên bởi một người Pháp Gilles-Personne Roberval năm 1650. Étienne Pascal sử dụng đường cong này như là một ví dụ về phương pháp vẽ tiếp tuyến dựa vào vi phân.

250px-Etienne-Pascal.jpg
magnify-clip.png
Étienne Pascal (02/05/1588 - 24/09/1651)

Cái tên 'limacon' có nghĩa theo tiếng Latin là từ 'ốc'. Étienne Pascal đã từng trao đổi thư từ với Mersenne, là người đã tổ chức tư dinh thành một nơi gặp gỡ của các nhà hình học nổi tiếng bao gồm cả Roberval.

Thực ra Dürer mới chính là người phát hiện các đường cong trên khi ông đưa ra một phương pháp dựng hình, mặc dù ông không gọi nó là một limacon, trong tác phẩm Underweysung der Messung công bố năm 1525.

  • Khi b = 2a ta có limacon biến đổi thành cardioid.
  • Nếu b = a ta có dạng một trisectrix. Chú ý rằng trisectrix này không phải là Trisectrix của Maclaurin.
  • Nếu b ≥ 2a thì diện tích của limacon bằng 02e08c5eb02ab75e7571db431642c808.png
  • Nếu b = a (trường hợp được vẽ ở trên với a = b = 1) thì diện tích của vòng lặp bên trong là 255f0361b56e0b0238964052f57e4f16.png và diện tích miền giữa các vòng là 2b953f6864c84eefb356922a0b1d94f5.png

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#36 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:40

37. Lissajous Curve (Đường cong Lissajous)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes: a948488304b2e5649f8b7c275bebaa62.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường cong Lissajous hoặc đồ thị Lissajous còn được gọi là đường cong Bowditch. Nathaniel Bowditch là người khảo sát chúng vào năm 1815. các đường cong này đã được Jules-Antoine Lissajous nghiên cứu một cách độc lập và chi tiết hơn vào năm 1857.

Jules-Antoine-Lissajous.jpg
magnify-clip.png
Jules-Antoine Lissajous (04/03/1882 - 24/06/1880)

Các đường cong Lissajous có ứng dụng trong vật lý, thiên văn học và khoa học khác.

Nathaniel Bowditch (1773-1838) là người Mỹ. Ông đã học tiếng Latin để đọc tác phẩm Newton's Principia và sau đó tự học các ngôn ngữ khác để nghiên cứu toán học. Tác phẩm New Practical Navigator (1802) và bản dịch Mécanique Celeste Laplace của ông là một công trình nổi tiếng tầm cỡ quốc tế.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#37 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:41

38. Lituus Curve (Đường cong Lituus)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực: 97f97a7962846524fed6665f43465ace.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Các đường cong lituus nguồn gốc với tác giả Cotes năm 1722. Maclaurin sử dụng thuật ngữ này trong cuốn sách của ông tựa đề Harmonia Mensurarumin 1722. Lituus là quỹ tích của điểm P di chuyển sao cho diện tich của một cung tròn là một hằng số.

250px-Roger-Cotes.jpg
magnify-clip.png
Roger Cotes (10/07/1682 - 05/06/1716)

Roger Cotes (1682-1716) qua đời ở tuổi 34 ông đã xuất bản hai cuốn hồi ký trong đời của mình. Ông được bổ nhiệm giáo sư tại Cambridge ở tuổi 24 và các tác phẩm của ông được xuất bản sau khi ông mất. Cotes đã phát hiện ra một định lý quan trọng về căn bậc n của phần tử đơn vị, dự báo các phương pháp bình phương tối thiểu và phát hiện ra một phương pháp tích phân các hàm phân thức có mẫu số là nhị thức.

Roger Cotes cũng là người đã biên tập các ấn bản thứ hai tác phẩm Principia của Newton. Ông đã có những đóng góp tiến bộ trong lý thuyết về logarit, tích phân và phương pháp số, đặc biệt là nội suy.

Ông cũng phát minh ra công thức cầu phương được gọi là công thức Newton-Cotes và lần đầu tiên giới thiệu những chi tiết được biết đến sau này là công thức Euler. Ông cũng là Giáo sư Plumian đầu tiên tại Đại học Cambridge từ năm 1707 cho đến khi mất 1716. Xem chuyển động của vật thể trên đường cong Lituus, bắt đầu với r~2.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#38 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:43

39. Neile‘s Semi-Cubical Parabola (Đường Parabola nửa-bậc-3 Neile)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: 7dcbde8a9fdf10bbca6886765609b588.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Đường cong này, đôi khi được gọi là parabol nửa bậc ba (bán lập phương), được William Neile phát hiện vào năm 1657. Đó là đường cong đại số đầu tiên mà chiều dài của nó đã được các nhà toán học nghiên cứu và tìm được. Wallis công bố phương pháp này vào năm 1659 cho đường cong Neile. Van Heuraet (người Hà Lan) cũng đã sử dụng các đường cong này cho các công trình tổng quát hơn.

250px-William-Neile.png
magnify-clip.png
William Neile (1637 - 1670)

William Neile sinh tại Bishopsthrope năm 1637. Ông là học trò của Wallis và đã tỏ ra có rất nhiều tiềm năng. Đường cong đại số parabol Neile là đường cong đại số đầu tiên mà các nhà toán học tính được chiều dài của nó, trước đó chỉ có chiều dài cung của các đường cong siêu việt như cycloid và đường xoắn ốc logarit là đã được tính toán. Thật không may, năm 1670 Neile qua đời lúc còn trẻ trước khi ông có thể còn đạt được nhiều thành tựu khác nữa.

Năm 1687 Leibniz đặt vấn đề đi tìm đường cong mô tả một chất điểm rơi xuống dưới tác dụng lực hấp dẫn sao cho nó có thể di chuyển những khoảng cách thẳng đứng bằng nhau trong một khoảng thời gian bằng nhau. Huygens cho thấy rằng parabol bán lập phương 512b8918cd6bf9bd333c1e907311b751.png thoả mãn tính chất này. Bởi vì đây là một đường cong đẳng thời. Parabol bán lập phương là đường pháp bao ngoài của một parabol.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#39 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:44

40. Nephroid (Đường cong Nephroid)

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:

e73d14f86c9a2c281a6cad77083b2b12.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Nephroid (có nghĩa là "hình quả thận ') là tên của đường cong epicycloid có 2 điểm lùi, do Proctor phát hiện vào năm 1878. Nephroid là đường epicycloid được hình thành bởi một đường tròn bán kính a lăn không trượt bên ngoài một đường tròn cố định có bán kính 2a.

Nephroid có chiều dài là 24a và diện tích là 5db3b63ed324d48a20efb4de3f2ed941.png.

Năm 1678, Huygens chỉ ra rằng nephroid là catacaustic của một đường tròn khi các nguồn ánh sáng ở vô cực. Ông đã chứng tỏ điều này trong tác phẩm Traité de la lumièrein 1690. Đây cũng là lời giải thích tại sao điều này đã không được phát hiện ra mãi cho đến khi lý thuyết sóng ánh sáng được ứng dụng. Airy đã đưa ra luận chứng lý thuyết về điều này năm 1838.

Richard-Anthony-Proctor.jpg
magnify-clip.png
Richard Anthony Proctor (1837 - 1888)

R.A. Proctor là một nhà toán học người Anh. Ông sinh năm 1837 và qua đời vào năm 1888. Năm 1878, ông xuất bản cuốn " hình học các đường cycloid " tại London. Đường bao trong của nephroid là đường "từ cấm"tic - Cayley hoặc là một nephroid khác vì chúng là những đường cong song song nhau.


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#40 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 24-07-2016 - 21:46

41. Newton’s Diverging Parabolas (Đường parabola phân kỳ Newton)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:

609b4e3632dcf5359d305829de34426d.png

 

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Parabola là quỹ tích những điểm chuyển động M sao cho khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm F và đường chuẩn (D) bằng nhau: MF = d [ M / (D) ]

Xem chuyển động của các tiếp tuyến của parabola.

Newton đã phân loại các đường cong bậc 3 trong cuốn "Curves by Sir Isaac Newton in Technicum Lexicon", NXB John Harris xuất bản ở London năm 1710. Trong phân loại các đường cong bậc 3, Newton đưa ra bốn lớp phương trình. Lớp thứ ba của phương trình là một trong những đường cong ở trên mà Newton chia thành năm loại. Trong đó ở trường hợp thứ ba, Newton phát biểu:

250px-Newton.jpeg
magnify-clip.png
Newton (25/12/1642 - 20/03/1727)

Trong trường hợp thứ ba phương trình là e19870c97ef22b417c8ca03d78e3941e.png và định nghĩa một Parabola có nhánh phân ra từ một nhánh khác, và chạy ra vô hạn theo chiều ngược lại. Trường hợp phân chia thành năm loại này Newton đưa ra đồ thị điển hình cho từng loại. Năm loại này phụ thuộc vào nghiệm của biểu thức bậc 3 ở vế phải của phương trình.

(i) Tất cả các nghiệm là thực và khác nhau: đồ thị là một Parabola phân kỳ có dạng chuông Bell, với hình Oval tại đỉnh của nó. Đây là trường hợp cho ta đồ thị đường cong như trên.

(ii) Hai nghiệm thực bằng nhau: một Parabola sẽ được hình thành, hoặc là đường cong Nodated có liên quan đến hình Oval, hoặc là đường Punctate, có được từ hình Oval vô cùng nhỏ.

(iii) Ba nghiệm thực bằng nhau: đây là Parabola Neile, thường được gọi là parabola bán-lập phương.

(iv) Chỉ có một nghiệm thực: Nếu hai nghiệm kia là phức, sẽ có một Parabola chính quy dạng hình chuông.

42. Parabola (Đường parabola)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: c784d4af7c88a51e6ef6f87b6a10436e.png hoặc 48cde1b0d7d81e82d10d9c2ba5ec82bf.png

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong
Conics.gif

Parabol được nghiên cứu bởi Menaechmus, ông là học trò của Plato và Eudoxus. Ông đã cố gắng tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một khối lập phương cho trước. Từ đó, dẫn đến việc đi tìm lời giải của phương trình 7141a63b728fb0e9d20d36633d45e18d.png bằng phương pháp hình học.

250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Trong thực tế, (nhưng Menaechmus đã không biết rằng) bài toán này không thể giải được bằng các phương pháp hình học sử dụng com-pa và thước kẻ. Menaechmus đã giải quyết nó bằng cách tìm các giao điểm của hai parabol 6c56dda1202ff6d80da2f8430c794d88.png

Euclid đã viết về parabol và Apollonius là người đặt tên cho đường cong này. Pappus cũng đã nghiên cứu về tiêu điểm và đường chuẩn của một parabol.

Pascal khảo sát parabol là hình chiếu của một đường tròn và Galileo chứng tỏ rằng đạn đạo là đường cong parabol.

Gregory và Newton đã nghiên cứu các tính chất của parabol khi các tia sáng song song đều hội tụ tại tiêu điểm.

250px-Apollonius-of-Perga.jpg
magnify-clip.png
Parabola (262 TCN - 190 TCN)
250px-Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 24-07-2016 - 21:46

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh