Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết

cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:

$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$



#2
Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Đây là 1 bài toán quen thuộc, mình xin gõ lại lời giải bằng '' yếu tố ít nhất'' của thầy Cẩn  :D  :D  :D

Do BĐT thuần nhất , chuẩn hóa cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{2(x+y)}\geq 3$

Ta có :  $LHS\geq x+y+z+\frac{\left ( x-z \right )^{2}}{x+y+z}=\frac{\left ( x-z \right )^{2}+\left ( y-x \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}+x+y+z+\frac{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}$

 =$\frac{9}{2\left ( x+y+z \right )}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}\geq 3+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}$

Bài toán đc chứng minh nếu ta có : $\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\geq 0$

 Đúng nếu cho $y$ nằm giữa $x,z$

Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$



#3
tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết

Đây là 1 bài toán quen thuộc, mình xin gõ lại lời giải bằng '' yếu tố ít nhất'' của thầy Cẩn :D :D :D
Do BĐT thuần nhất , chuẩn hóa cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$
BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2}}{2(x+y)}\geq 3$
Ta có : $LHS\geq x+y+z+\frac{\left ( x-z \right )^{2}}{x+y+z}=\frac{\left ( x-z \right )^{2}+\left ( y-x \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}+x+y+z+\frac{\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )}{x+y+z}$
=$\frac{9}{2\left ( x+y+z \right )}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}\geq 3+\frac{\left ( x-y \right )\left (y-z \right )}{x+y+z}$
Bài toán đc chứng minh nếu ta có : $\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\geq 0$
Đúng nếu cho $y$ nằm giữa $x,z$
Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=1$

có cách nào khác không các bạn

      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#4
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

SOS



#5
tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết

SOS

bạn trình bày giùm mình với

      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#6
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Bạn có thể search google mình chỉ nói thế thôi chứ chua ra 



#7
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:

$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$

Ta có $\sum (\frac{x^2+y^2}{x+y} - \frac{x+y}{2}) \geq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} - (x+y+z)$

          $<=> \sum \frac{(x-y)^2}{2(x+y)} - \sum \frac{(x-y)^2}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} + x+y+z} \geq 0 $ 

          $<=> \sum (x-y)^2(\frac{1}{2(x+y)} - \frac{1}{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} +x+y+z} ) \geq 0 $

Mà ta có $\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} -x-y-z + 2z >0 $

Do đó, ta có đpcm 



#8
vuchidung110

vuchidung110

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Bài này cũng có thể làm theo cách khác như sau:

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

$\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}$(1)

 Giờ ta phải cm:

$\frac{(\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}})^{2}}{2\sum x}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}(2)$

$(2)$ tuơng đương:

       $\left ( \sum \sqrt{x^2+y^2} \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

 Áp dụng bất đẳng thức CBS,ta có:

       $2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )} \geq2\sum x^{2}+ 2\sum \left ( x^{2}+yz \right )$

<=>$2\sum x^{2}+2\sum \sqrt{\left ( x^{2}+y^{2} \right )\left ( x^{2}+z^{2} \right )}\geq3\sum x^{2}+\left (\sum x \right )^{2}$

 Để (2) đúng ta phải chứng minh:

       $3\sum x^{2}+\left ( \sum x \right )^{2}\geq 2\left ( \sum x \right )\sqrt{3\sum x^{2}}$

<=>$\left ( \sqrt{3\sum x^{2}}-\sum x \right )^{2}\geq 0$ (hiển nhiên đúng)

<=>(2) đúng

 Kết hợp (1) ta có:

    $\sum \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\geq \sqrt{3\sum x^{2}}$ (ĐPCM)

 Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuchidung110: 26-07-2016 - 11:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh