Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\sum\frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$

cosi ngược dấu

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\sum a=3$

Chứng minh

$\sum\frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$



#2
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\sum a=3$

Chứng minh

$\sum\frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1$

Dễ dàng chứng minh BĐT quen thuộc sau: 

$\sum a^{4}\geq \sum a^{3}.$

Suy ra: $\sum\frac{a^2}{a+2b^2}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{3}+2\sum a^{2}b^{2}}\geq 1.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#3
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Dễ dàng chứng minh BĐT quen thuộc sau: 

$\sum a^{4}\geq \sum a^{3}.$

Suy ra: $\sum\frac{a^2}{a+2b^2}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{3}+2\sum a^{2}b^{2}}\geq 1.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=1$

Bạn làm bằng AM-GM ngược dấu được không?



#4
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Bạn làm bằng AM-GM ngược dấu được không?

Áp dụng $AM-GM$:

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum (a-\frac{2ab^2}{a+2b^2})\geq \sum (a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}})=\sum (a-\frac 23\sqrt[3]{a^2b^2}.)$

Do đó ta cần chứng minh: $\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq 3.$

Áp dụng $AM-GM$ lần nữa: $\sqrt[3]{a^2b^2}\leq\frac{1}{3}(ab+a+b)$,...

suy ra ĐPCM


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh