Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{1}{2}.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{1}{2}.$$

 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#2
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{1}{2}.$$

Phải bài này không?



#3
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a}{a^2+2b+3} \leq \frac{1}{2}.$$

Lời giải.

Ta có $a^{2}+2b+3=a^{2}+1+2b+2\geq 2a+2b+2$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{a}{a+b+1}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{b+1}{a+b+1}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta được:

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( a+1 \right )\left ( c+a+1 \right )}$

Mặt khác $\sum \left ( a+1 \right )\left ( c+a+1 \right )=\frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Nản cái $\LaTeX $ diễn đàn ghê mấy nay gõ sao không hiện được :<


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 26-07-2016 - 20:25

Thích ngủ.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh