Chủ đề này có 1 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Giả sử $\alpha$ là nghiệm dương của phương trình: $x^n=x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1$ $(n\geqslant 2, n\in \mathbb{Z^+})$

Chứng minh rằng: $2-\frac{1}{n}< \alpha < 2$

[redfox]

Ta có $x=1$ không phải nghiệm của phương trình. Nhân hai vế phương trình với $x-1$ ta được phương trình $(2-x)x^n=1$.

Ta có $(2-x)x^n=1>0\Rightarrow 2-x>0\Rightarrow x<2$

Nếu $0<x<1$ thì $(2-x)x^n=x(2-x)x^{n-1}<(2-x+x)^2/4=1$. Vậy $x>1$. Đặt $y=x-1$ ta được phương trình $(1-y)(1+y)^n=1$ với $y>0$

Áp dụng BĐT Bernoulli (dấu $=$ không xảy ra) ta có $1=(1-y)(1+y)^n>(1-y)(1+ny)=1+(n-1)y-ny^2\Rightarrow ny^2>(n-1)y\Rightarrow y>1-1/n\Rightarrow x>2-1/n$. Vậy $2-1/n< \alpha < 2$.

(Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 26-07-2016 - 22:07