Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$
Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$
DÙng thử p,q,r
Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$
Ta có:
$f(a,b,c)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$
Suy ra $f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2]$
Không mất tính tổng quát giả sử $a=max$ . Ta có:
$f(a,b+c,0)- f(a,b,c)=bc[bc(2a^2-b^2-c^2)+ 4a^2b^2+4a^2c^2+2a^4+2a^2bc] \geq 0$
(do $a=max$ và $a,b,c \geq 0$)
Mặt khác theo Cauchy
$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2] =\frac{1}{2}.2a(b+c)[a^2+(b+c)^2]. a(b+c) \leq \frac{1}{2} \frac{(a+b+c)^4}{4} . \frac{(a+b+c)^2}{4} =\frac{1}{32}$
(Do $a+b+c=1$)
Vậy $f(a,b,c) \leq f(a,b+c,0) \leq \frac{1}{32}$
Đây chính là điều phải chứng minh
Dấu $=$ xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 27-07-2016 - 17:29
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Ta có:
$f(a,b,c)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$
Suy ra $f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2]$
Không mất tính tổng quát giả sử $a=max$ . Ta có:
$f(a,b+c,0)- f(a,b,c)=bc[bc(2a^2-b^2-c^2)+ 4a^2b^2+4a^2c^2+2a^4+2a^2bc] \geq 0$
(do $a=max$ và $a,b,c \geq 0$)
Mặt khác theo Cauchy
$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2] =\frac{1}{2}.2a(b+c)[a^2+(b+c)^2]. a(b+c) \leq \frac{1}{2} \frac{(a+b+c)^4}{4} . \frac{(a+b+c)^2}{4} =\frac{1}{32}$
(Do $a+b+c=1$)
Vậy $f(a,b,c) \leq f(a,b+c,0) \leq \frac{1}{32}$
Đây chính là điều phải chứng minh
Dấu $=$ xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$
phương pháp gì đây bn ?
phương pháp gì đây bn ?
Dồn biến nhan bạn
"DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "
-Henry Ford -
Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh
$(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$
Cách này hay lắm
Giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử $c=\min \begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$
$\Rightarrow b^2+c^2\leqslant \begin{pmatrix} b+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2$
$a^2+c^2\leqslant \begin{pmatrix} a+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2$
$a^2+b^2\leqslant \begin{pmatrix} a+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} b+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2$
Đến đây nếu đặt $a+\frac{c}{2}=x; b+\frac{c}{2}=y (x,y\geqslant 0)$ $\Rightarrow x+y=1$
$\Rightarrow VT\leqslant x^2y^2(x^2+y^2)$
Đến đây dự đoán dấu bằng rồi đánh giá bằng $AM-GM$ thôi, không khó
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
BÀi này có trong phương pháp p,q,r của võ quốc bá cẩn nha
bạn mới lên lớp 10 mà học dồn biến rồi àTa có:
$f(a,b,c)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$
Suy ra $f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2]$
Không mất tính tổng quát giả sử $a=max$ . Ta có:
$f(a,b+c,0)- f(a,b,c)=bc[bc(2a^2-b^2-c^2)+ 4a^2b^2+4a^2c^2+2a^4+2a^2bc] \geq 0$
(do $a=max$ và $a,b,c \geq 0$)
Mặt khác theo Cauchy
$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2] =\frac{1}{2}.2a(b+c)[a^2+(b+c)^2]. a(b+c) \leq \frac{1}{2} \frac{(a+b+c)^4}{4} . \frac{(a+b+c)^2}{4} =\frac{1}{32}$
(Do $a+b+c=1$)
Vậy $f(a,b,c) \leq f(a,b+c,0) \leq \frac{1}{32}$
Đây chính là điều phải chứng minh
Dấu $=$ xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh