Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 VODANH9X

VODANH9X

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-07-2016 - 11:34

Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh

         $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$



#2 nguyentrai2005

nguyentrai2005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Linh - Quảng Trị
  • Sở thích:Đọc truyện tranh,đọc sách,xem phim,nghe nhạc,đi du lịch.

Đã gửi 27-07-2016 - 15:44

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. AB=6;AC=8. Có D thuộc HC sao cho BH=HD. Kẻ hình bình hành ADCE.

a, BH,AH = ?

B, ABCE là hình gì ? Tính diện tích ABCE.



#3 nguyentrai2005

nguyentrai2005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Linh - Quảng Trị
  • Sở thích:Đọc truyện tranh,đọc sách,xem phim,nghe nhạc,đi du lịch.

Đã gửi 27-07-2016 - 15:45

Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD) AH vuông góc với CD. Biết AH=4cm, BD=5cm. Đường chéo AC vuông góc với BD. Tính S hình thang ABCD.



#4 nguyentrai2005

nguyentrai2005

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Linh - Quảng Trị
  • Sở thích:Đọc truyện tranh,đọc sách,xem phim,nghe nhạc,đi du lịch.

Đã gửi 27-07-2016 - 15:46

Rút gọn các biểu thức:



#5 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 27-07-2016 - 16:38

DÙng thử p,q,r 



#6 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 27-07-2016 - 17:26

Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh

         $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$

 

Ta có:

 

$f(a,b,c)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$

 

Suy ra $f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2]$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a=max$ . Ta có:

 

$f(a,b+c,0)- f(a,b,c)=bc[bc(2a^2-b^2-c^2)+ 4a^2b^2+4a^2c^2+2a^4+2a^2bc] \geq 0$

 

(do $a=max$ và $a,b,c \geq 0$)

 

Mặt khác theo Cauchy

 

$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2] =\frac{1}{2}.2a(b+c)[a^2+(b+c)^2]. a(b+c) \leq \frac{1}{2} \frac{(a+b+c)^4}{4} . \frac{(a+b+c)^2}{4} =\frac{1}{32}$

 

(Do $a+b+c=1$)

 

Vậy $f(a,b,c) \leq f(a,b+c,0) \leq \frac{1}{32}$

 

Đây chính là điều phải chứng minh

 

Dấu $=$ xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 27-07-2016 - 17:29

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#7 hoaichung01

hoaichung01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghĩa Đàn , Nghệ An ( A1K45 PBC )

Đã gửi 27-07-2016 - 20:45

Ta có:

 

$f(a,b,c)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$

 

Suy ra $f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2]$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a=max$ . Ta có:

 

$f(a,b+c,0)- f(a,b,c)=bc[bc(2a^2-b^2-c^2)+ 4a^2b^2+4a^2c^2+2a^4+2a^2bc] \geq 0$

 

(do $a=max$ và $a,b,c \geq 0$)

 

Mặt khác theo Cauchy

 

$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2] =\frac{1}{2}.2a(b+c)[a^2+(b+c)^2]. a(b+c) \leq \frac{1}{2} \frac{(a+b+c)^4}{4} . \frac{(a+b+c)^2}{4} =\frac{1}{32}$

 

(Do $a+b+c=1$)

 

Vậy $f(a,b,c) \leq f(a,b+c,0) \leq \frac{1}{32}$

 

Đây chính là điều phải chứng minh

 

Dấu $=$ xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$

phương pháp gì đây bn ?



#8 nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên lê quý đôn khánh hòa
  • Sở thích:onl facebook, nghe nhạc , giải toán

Đã gửi 27-07-2016 - 20:51

phương pháp gì đây bn ?

Dồn biến nhan bạn :D


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#9 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 27-07-2016 - 22:31

Cho a,b,c không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.Chứng minh

         $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$

Cách này hay lắm

Giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=\min \begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow b^2+c^2\leqslant \begin{pmatrix} b+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2$

$a^2+c^2\leqslant \begin{pmatrix} a+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2$

$a^2+b^2\leqslant \begin{pmatrix} a+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} b+\frac{c}{2} \end{pmatrix}^2$

Đến đây nếu đặt $a+\frac{c}{2}=x; b+\frac{c}{2}=y (x,y\geqslant 0)$ $\Rightarrow x+y=1$

$\Rightarrow VT\leqslant x^2y^2(x^2+y^2)$

Đến đây dự đoán dấu bằng rồi đánh giá bằng $AM-GM$ thôi, không khó 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#10 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 28-07-2016 - 10:21

BÀi này có trong phương pháp p,q,r của võ quốc bá cẩn nha



#11 tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2016 - 10:58

Ta có:

$f(a,b,c)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$

Suy ra $f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2]$

Không mất tính tổng quát giả sử $a=max$ . Ta có:

$f(a,b+c,0)- f(a,b,c)=bc[bc(2a^2-b^2-c^2)+ 4a^2b^2+4a^2c^2+2a^4+2a^2bc] \geq 0$

(do $a=max$ và $a,b,c \geq 0$)

Mặt khác theo Cauchy

$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2] =\frac{1}{2}.2a(b+c)[a^2+(b+c)^2]. a(b+c) \leq \frac{1}{2} \frac{(a+b+c)^4}{4} . \frac{(a+b+c)^2}{4} =\frac{1}{32}$

(Do $a+b+c=1$)

Vậy $f(a,b,c) \leq f(a,b+c,0) \leq \frac{1}{32}$

Đây chính là điều phải chứng minh

Dấu $=$ xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$

bạn mới lên lớp 10 mà học dồn biến rồi à

      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh