Chủ đề này có 4 trả lời

[supernatural1]

Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: $ \frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 27-07-2016 - 16:22

[81NMT23]

Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: $ \frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq0 $

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$ \frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2b^{2}-2ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geqslant0$

$\Leftrightarrow 1-\frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+1-\frac{2b^{2}-2ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+1-\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+a)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}\leqslant 3$

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

$\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}$

Tương tự cũng  có: $\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+a)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}} \leqslant \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}} = 3$ 

Suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 27-07-2016 - 16:45

[supernatural1]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$ \frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2b^{2}-2ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geqslant0$

$\Leftrightarrow 1-\frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+1-\frac{2b^{2}-2ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+1-\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+a)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}\leqslant 3$

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

$\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}$

Tương tự ta có: $\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+a)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}} \leqslant \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}} = 3$ 

Suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

bái phục vừa đăng đã giải được

[superpower]

Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: $ \frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq0 $

Cách khác

Bđt $<=> \sum \dfrac{(a+b)(a-c) + ( a+c)(a-b)}{2a^2 + b^2 +c^2 } \geq 0 $

       $<=> \sum (a-b) ( \dfrac{a+c}{2a^2+b^2+c^2} - \dfrac{b+c}{a^2+2b^2+c^2} ) \geq 0 $

       $<=> \sum (a-b)^2. \dfrac{a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca}{(2a^2+b^2+c^2)(a^2+2b^2+c^2)} \geq 0$ đúng 

[Fr13nd]

mỗi cái cộng 1/2 là xong