Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ với $p$ là số nguyên tố sao cho: $m^2+7p^2=2^n$
Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ với $p$ là số nguyên tố sao cho: $m^2+7p^2=2^n$
Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ với $p$ là số nguyên tố sao cho: $m^2+7p^2=2^n$
TH1: $n$ chẵn thì đặt $n=2k $
Sau đó đưa về $2^{2n} - m^2 = 7p^2 $ rồi trâu bò xét trường hợp
TH2: $n$ lẻ thì đặt $n=2k+1$
Xét $p \geq 3$
$m^2 + 7p^2 = 2.4^{k} $
Dễ thấy $m,p$ cùng tính chẵn lẽ, khi đó $m,p$ cùng lẻ
Đặt $m=2a+1 , p =2b+1 $
Khi đó, ta được $4a^2+4a+1 + 4b^2+4b+1 = 2.4^k $
$4a(a+1) +4b(b+1) +2 = 2.4^k $
Nếu $k \geq 1$ thì $VP \vdots 4 $, còn VT thì không
Do đó suy ra vô lí
Do đó $k=0 => 2a(a+1) + 2b(b+1)=0 $ cũng vô lí
Do đó $p=2 $
Khi $p=2$, ta được $m^2+28=2^n, n \geq 5 $
Tới đây xét tính
Phần cuối làm hơi dài nên không tiện ghi
Cái chính là bạn giải kĩ đoạn xét từng trường hợp, đó mới là phần khó của bài toán...TH1: $n$ chẵn thì đặt $n=2k $
Sau đó đưa về $2^{2n} - m^2 = 7p^2 $ rồi trâu bò xét trường hợp
TH2: $n$ lẻ thì đặt $n=2k+1$
Xét $p \geq 3$
$m^2 + 7p^2 = 2.4^{k} $
Dễ thấy $m,p$ cùng tính chẵn lẽ, khi đó $m,p$ cùng lẻ
Đặt $m=2a+1 , p =2b+1 $
Khi đó, ta được $4a^2+4a+1 + 4b^2+4b+1 = 2.4^k $
$4a(a+1) +4b(b+1) +2 = 2.4^k $
Nếu $k \geq 1$ thì $VP \vdots 4 $, còn VT thì không
Do đó suy ra vô lí
Do đó $k=0 => 2a(a+1) + 2b(b+1)=0 $ cũng vô lí
Do đó $p=2 $
Khi $p=2$, ta được $m^2+28=2^n, n \geq 5 $
Tới đây xét tính
Phần cuối làm hơi dài nên không tiện ghi
Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,p)$ với $p$ là số nguyên tố sao cho: $m^3+7p^2=2^n$
Bằng mod $7$ cho ta $n \vdots 3$ nên đặt $n=3k$
Ta viết lại phương trình $(2^k-m)(m^2+2^k.m+2^{2k})=7p^2$
Chú ý rằng $m$ lẻ ,gọi $gcd(2^k-m,m^2+2^k.m+2^{2k})=d$ suy ra $3m \vdots d$ bằng cách xét từng trường hợp cho ta $d=1$
Trường hợp 1 : $2^k-m=7,m^2+2^k.m+2^{2k}=p^2 \Rightarrow m=2^k-7$
Thế vào phương trình cho ta $-7(3.2^{2k}-21.2^k+49)=7p^2 \Rightarrow 21.2^k-3.4^k-49=p^2$ bằng cách đánh giá $VT<0$ cho ta phương trình này vô nghiệm
Trường hợp 2 : $2^k-m=p,m^2+2^k.m+2^{2k}=7p$
Suy ra $(2^k-m)^2+3.2^k.m=7p \Rightarrow 7p-p^2=3.2^k.m \ge 0 \Rightarrow p \in \{2,3,5\}$ thử lần lượt giá trị cho ta $p=3,m=1,k=2$
Hay $(m,n,p)=(1,6,3)$
Edited by I Love MC, 05-08-2016 - 21:12.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users