Chủ đề này có 131 trả lời

[Nguyenhuyen_AG]

14. $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{abc}\geq 7$

 

Sử dụng phép thế Ravi và bất đẳng thức Jack Garfunkel

\[\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant 2.\]

[loolo]

18.ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a^{3}}{3(a^{2}+b^{2})}=\frac{2a(a^{2}+b^{2})-2ab^{2}}{3(a^{2}+b^{2})}=\frac{2a}{3}-\frac{2ab^{2}}{3(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{2a}{3}-\frac{b}{3}$

thiết lập các bđt tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm

[loolo]

21. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq \frac{9}{3+ab+bc+ac}\geq \frac{9}{3+a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{3}{2}$

dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 01-08-2016 - 11:28

[DangHongPhuc]

hôm nay mình đi học nên chỉ đăng tạm cho cá bạn được vài bài thôi

[DangHongPhuc]

25. ĐK: $a,b,c,d> 0$; $abcd=1$

$\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+cd}{1+c}+\frac{1+da}{1+d}\geq 4$

[DangHongPhuc]

26. ĐK: $a,b,c,d> 0$; $a+b+c+d=4$

$\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

[DangHongPhuc]

27. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

[DangHongPhuc]

28. ĐK: $a,b,c>0$

$\frac{ab}{3a+4b+2c}+\frac{bc}{3b+4c+2a}+\frac{ca}{3c+4a+2b}\leq \frac{a+b+c}{9}$

[DangHongPhuc]

29. ĐK: $a,b,c,d>0$; $a+b+c+d=4$

$\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+d^{2}}+\frac{d}{1+a^{2}}\geq 2$

[DangHongPhuc]

30. ĐK: $a,b,c\geq 0$; $a+b+c\geq 3$

$\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{a+b^{2}+c}+\frac{1}{a+b+c^{2}}\leq 1$

[DangHongPhuc]

31. ĐK: $a,b,c> 0$ $ab+bc+ca=3$

$\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}$

[DangHongPhuc]

32. ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq \frac{2(a+b+c)^{3}}{3(ab+bc+ca)}$

[Nguyenhuyen_AG]

32. ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq \frac{2(a+b+c)^{3}}{3(ab+bc+ca)}$

 

Ta có

\[VT-VP = \frac{\displaystyle abc(a+b+c)\sum (a-b)^2+3\sum(a^2-bc)^2c^2}{6abc(ab+bc+ca)} \geqslant 0.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 01-08-2016 - 18:07

[loolo]

27. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Theo đk ta có: 0<a<$\sqrt{3}$ tương tự b,c cũng vậy.

Chứng minh bđt: $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^{2}}{2}+\frac{1}{2}$ (chứng minh bằng biến đổi tương đương) 
Thiết lập các bđt tương tự ta được: $\sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$

dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 01-08-2016 - 18:23

[loolo]

30. ĐK: $a,b,c\geq 0$; $a+b+c\geq 3$

$\frac{1}{a^{2}+b+c}+\frac{1}{a+b^{2}+c}+\frac{1}{a+b+c^{2}}\leq 1$

$\sum \frac{1}{a^{2}+b+c}\leq \sum \frac{1}{a^{2}-a+3}$

chứng minh bđt: $\frac{1}{a^{2}-a+3}\leq \frac{4}{9}-\frac{a}{9}$

thiết lập bđt tương tự ta được: $\sum \frac{1}{a^{2}-a+3}\leq \frac{-(a+b+c)}{9}+\frac{4}{3}\leq 1$

dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 01-08-2016 - 18:32

[DangHongPhuc]

33. ĐK:$a,b,c> 0$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}$

[DangHongPhuc]

34. The zeros (mình không dịch được, chắc là nghiệm ) của đa thức $P(x)=x^{3}+x^{2}+ax+b$ là những số thực âm.

CMR: $4a-9b\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 02-08-2016 - 15:40

[DangHongPhuc]

35. ĐK: $x,y,z\geq 0$: $x+y+z=3$

$\sqrt{\frac{x}{1+2yz}}+\sqrt{\frac{y}{1+2zx}}+\sqrt{\frac{z}{1+2xy}}\geq \sqrt{3}$

[DangHongPhuc]

36. ĐK: $a,b,c,x,y,z\in \mathbb{R}$

$4(a^{2}+x^{2})(b^{2}+y^{2})(c^{2}+z^{2})\geq 3(bcx+cay+abz)^{2}$

[DangHongPhuc]

37. ĐK: $x,y,z> 0$:$x\leq 1,y\leq 2,x+y+z=6$

$(x+1)(y+1)(z+1)\geq 4xyz$