2. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:
$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$
Đổi biến $(a;b;c)= (\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$
Bất đẳng thức cần chứng minh <=>$(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)\leq xyz$( chứng minh BĐT này khá khó )
Giả sử $x\geq y\geq z$
TH1:$y+z>x$
Ta có: $x+y>z;y+z>x;z+x>y$
=>x;y;z là 3 cạnh của 1 tam giác
Áp dụng phép thế Ravi, đặt $x=p+q;y=p+r;z=q+r$(p,q,r>0)
Khi đó (1)<=>$(y+z)(z+x)(x+y)\geq 8xyz<=>x(y-z)^2+z(x-y)^2+y(x-z)^2$\geq 0$(hnđ)
=>đpcm
TH2:$y+z\leq x=>xyz$> 0$\geq (y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)$
=>đpcm
Vậy BĐT được chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 01-11-2016 - 11:36