Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

109 bất đẳng thức

tài liệu nước ngoài

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 131 trả lời

#1 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 19:53

MÌnh có một cuốn sách tên là "109 Inequalities From the AwesomeMath Summer Program" của Titu Andreescu và Adithya Ganesh, trong đó có rất nhiều bất đẳng thức hay. MÌnh lập topic này để đăng lên cho các bạn cùng tham khảo và thảo luận. Các dạng BĐT chính là AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder, Nesbitt, Rearrangement và Chebyshev. Một số bất đẳng thức khó mình sẽ đăng đáp án vào ngày hôm sau. Like và khuyến khích những bạn có cách giải khác hay.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 19:59

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#2 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:02

1. ĐK $x,y> 0$

$\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 20:28

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#3 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2016 - 20:05

$\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$

Ta có $(x^4+ y^2)(1+y^2) \geq ( x^2+y^2)^2 $

Do đó, ta đưa bất đẳng thức về chứng minh 

$\frac{x(1+y^2) + y(1+x^2) }{(x^2+y^2)^2 } \leq \frac{1}{xy} $

Tương đương với chứng minh

$(x^2+y^2)^2 \geq xy(x+y+xy(x+y) ) $

Khai triển ra ta có đpcm 



#4 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:07

2. $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$0\leq \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}< 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 20:13

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#5 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:10

3. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c+3$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#6 thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A5-K54-LĐB
  • Sở thích:Arsenal, ĐT Anh-Pháp-Đức

Đã gửi 30-07-2016 - 20:11

bn viết sai rồi kìa


Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#7 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:11

4. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 4b$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#8 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:12

bn viết sai rồi kìa

cảm ơn bạn nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-07-2016 - 20:14

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#9 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:14

5. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq a+b+c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#10 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:15

6. ĐK $x,y,z> 0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:17

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#11 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2016 - 20:17

MÌnh có một cuốn sách tên là "109 Inequalities From the AwesomeMath Summer Program" của Titu Andreescu và Adithya Ganesh, trong đó có rất nhiều bất đẳng thức hay. MÌnh lập topic này để đăng lên cho các bạn cùng tham khảo và thảo luận. Các dạng BĐT chính là AM-GM, Cauchy-Schwarz, Holder, Nesbitt, Rearrangement và Chebyshev. Một số bất đẳng thức khó mình sẽ đăng đáp án vào ngày hôm sau. Like và khuyến khích những bạn có cách giải khác hay.

Bạn nên viết điều kiện của bất đẳng thức nhé



#12 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:18

7. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}}\geq \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:18

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#13 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:21

Bạn nên viết điều kiện của bất đẳng thức nhé

Những cái mình không viết điều kiện thì các bạn hiểu cho mình là các số đó thuộc tập số thực nhé, còn có điều kiện gì thêm thì mình sẽ viết ngay trên đầu bài toán


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#14 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-07-2016 - 20:23

1. $\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$

Nếu số thực thì bài này sai rồi

$x=1 ; y=-1 $



#15 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:23

8. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{1}{10a+11b+11c}+\frac{1}{11a+10b+11c}+\frac{1}{11a+11b+10c}\leq \frac{1}{32a}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:18

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#16 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 30-07-2016 - 20:27

Nếu số thực thì bài này sai rồi

$x=1 ; y=-1 $

Mình rất xin lỗi bạn và các bạn đọc khác, vì là tài liệu tiếng anh nên mình không để ý kĩ, mình sẽ khắc phục ngay


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#17 Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-07-2016 - 22:27

1. ĐK $x,y> 0$

$\frac{1}{xy}\geq \frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}$

$\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}\leq \frac{x}{2\sqrt{x^{4}y^{2}}}+\frac{y}{2\sqrt{y^{4}x^{2}}}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}$

Dấu ''='' $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x,y>0\\x^{4}=y^{2} \\y^{4}=x^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1$



#18 thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A5-K54-LĐB
  • Sở thích:Arsenal, ĐT Anh-Pháp-Đức

Đã gửi 30-07-2016 - 22:35

8. ĐK $x,y> 0$

$\frac{1}{10a+11b+11c}+\frac{1}{11a+10b+11c}+\frac{1}{11a+11b+10c}\leq \frac{1}{32a}+\frac{1}{32b}+\frac{1}{32c}$

Ta có $\sum \frac{1}{10a+11b+11c}=\sum \frac{1}{(a+a+...+a)+(b+b+...+b)+(c+c+...+c)}\leq \frac{1}{32^2}.\sum (\frac{1}{10a}+\frac{1}{11b}+\frac{1}{11c})=\sum \frac{1}{32a}$


Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#19 Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-07-2016 - 22:40

2. $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$0\leq \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}< 1$

Áp dụng $\frac{x}{y}<\frac{x+m}{y+m}$ (với y,m>0; x<y). Khi đó:

$A=\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+b}< \frac{a-b+a}{b+c+a}+\frac{b-c+b}{c+a+b}+\frac{c-a+c}{a+b+c}=1$

$A=\frac{a-b-c+c}{b+c}+\frac{b-c-a+a}{c+a}+\frac{c-a-b+b}{a+b}=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+a}{c+a}+\frac{c+b}{a+b}-3\geq 3\sqrt[3]{\frac{a+c}{b+c}.\frac{b+a}{c+a}.\frac{c+b}{a+b}}-3=0$

Dấu ''='' khi và chỉ khi a=b=c



#20 Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-07-2016 - 23:02

3. Cho $a+b+c=3$ ĐK $x,y> 0$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

BĐT cần c/m tương đương với: 

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}=\frac{9-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 9$

Có $a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3\sqrt[3]{a^{2}.\sqrt{a}.\sqrt{a}}=3a$, ...

nên $2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3a+3b+3c=9$

Dấu ''='' khi và chỉ khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shin Janny: 30-07-2016 - 23:03





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh