Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

109 bất đẳng thức

tài liệu nước ngoài

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 131 trả lời

#21 Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-07-2016 - 23:19

4. ĐK $x,y> 0$

$\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 4b$

Có $A=\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{c+a}$

mà $\frac{(a+b+c)^{2}}{c+a}\geq 4b\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-2bc-2ab+2ca\geq 0\Leftrightarrow (a-b+c)^{2}\geq 0$  (đúng)

Dấu ''='' $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\\frac{a+b}{c} =\frac{c}{a} \\ a+c=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\frac{b}{3}=\frac{c}{2}$ (a>0)



#22 thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A5-K54-LĐB
  • Sở thích:Arsenal, ĐT Anh-Pháp-Đức

Đã gửi 31-07-2016 - 00:09

7. ĐK $x,y> 0$

$\frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}}\geq \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}$

BĐT tương đương với $(a^2+b^2)(a^4+b^4)^2\leq (a+b)(a^3+b^3)(a^6+b^6)\Leftrightarrow (a^4+b^4)^2\leq (a^4-a^2b^2+b^4)(a^3+b^3)(a+b)$

Do $(a^4-a^2b^2+b^4)(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^4+b^4-a^2b^4)(a^4+b^4+2a^2b^2)=(a^4+b^4)^2+a^2b^2(a^2-b^2)^2\geq (a^4+b^4)^2$

(đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 31-07-2016 - 00:12

Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#23 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:05

9. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c=1$

$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:16

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#24 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:07

10. ĐK $a,b,c> 0$, $abc=1$

$\frac{a+b+1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{b+c+1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{c+a+1}{c^{2}+a^{2}+1}\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#25 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:10

11. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

$\frac{a^{3}c}{b(c+a)}+\frac{b^{3}a}{c(a+b)}+\frac{c^{3}b}{a(b+c)}\geq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#26 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:12

12. ĐK $a,b,c> 0$, $abc=1$

$\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\leq \frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#27 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:13

13. ĐK $a,b,c> 0$, $a+b+c=1$

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq \frac{2a}{b}+\frac{2b}{c}+\frac{2c}{a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 12:15

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#28 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:21

14. $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{abc}\geq 7$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#29 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:22

15. ĐK $a,b,c> 0$

$\frac{b+c}{a^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}\geq 2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#30 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:28

Ta có $(x^4+ y^2)(1+y^2) \geq ( x^2+y^2)^2 $

Do đó, ta đưa bất đẳng thức về chứng minh 

$\frac{x(1+y^2) + y(1+x^2) }{(x^2+y^2)^2 } \leq \frac{1}{xy} $

Tương đương với chứng minh

$(x^2+y^2)^2 \geq xy(x+y+xy(x+y) ) $

Khai triển ra ta có đpcm 

Còn 1 cách nữa rất đơn giản bạn ạ 

$\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}\leq \frac{x}{2\sqrt{x^{4}y^{2}}}+\frac{y}{2\sqrt{x^{2}y^{4}}}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#31 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 12:36

Bài 5 chưa bạn nào giải được mình up đáp án nhé

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+b+b\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}}{b^{2}}.b.b}=3a$

Tương tự $\frac{b^{3}}{c^{2}}+c+c\geq 3b; \frac{c^{3}}{a^{2}}+a+a\geq 3c$

Cộng 3 BĐT trên ta có 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}+(2a+2b+2c)\geq 3a+3b+3c$

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq a+b+c$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#32 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 13:31

16. ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#33 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 13:53

17. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 31-07-2016 - 13:53

"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#34 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 13:55

18.ĐK: $a,b,c> 0$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#35 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 14:02

19. ĐK: $a,b,c> 0$ $abc=1$

$\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}\leq 1$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#36 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 14:03

20.ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=3$

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#37 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 14:06

21. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{3}{2}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#38 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 14:10

22. $x,y,z\geq 0$ trong đó không có 2 số đồng thời bằng 0

$\frac{x^{2}-yz}{x+y}+\frac{y^{2}-zx}{y+z}+\frac{z^{2}-xy}{z+x}\geq 0$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#39 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 31-07-2016 - 14:12

23. ĐK: $a,b,c,d> 0$

$\frac{1}{a^{2}+ab}+\frac{1}{b^{2}+bc}+\frac{1}{c^{2}+cd}+\frac{1}{d^{2}+da}\geq \frac{4}{ab+bd}$


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"


#40 Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-07-2016 - 23:15

6. ĐK $x,y,z> 0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x^{2}+\frac{1}{2}y^{2})+(\frac{1}{2}y^{2}+z^{2})\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{1}{2}y^{2}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y^{2}.z^{2}}=\sqrt{2}(xy+yz)$

Dấu ''='' $\Leftrightarrow x=z=\frac{1}{\sqrt{2}}y$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh