50. ĐK: $a,b,c> 0$; $abc=1$
$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 04-08-2016 - 15:29
50. ĐK: $a,b,c> 0$; $abc=1$
$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 04-08-2016 - 15:29
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
50. ĐK: $a,b,c> 0$; $abc=1$
$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 2$
Dễ CM: $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$
Tương tự $\Rightarrow VT\geq \frac{2}{3}(a+b+c)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{1}=VP(đpcm)$
Dấu ''='' xr khi a=b=c=1
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
46. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=1$
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$
$VT=\sum \frac{a}{\sqrt{(b+c).\frac{2}{3}}.\sqrt{\frac{3}{2}}}\geq \sqrt{\frac{2}{3}}.\sum \frac{2a}{b+c+\frac{2}{3}}\geq 2.\frac{2}{3}.\frac{(\sum a)^2}{2\sum ab+\frac{2}{3}\sum a}\geq 2.\sqrt{\frac{2}{3}}.\frac{1}{2.\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=VP(đpcm)$
Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
49. ĐK: $a,b,c> 0$; $(a+b)(b+c)(c+a)=1$
$ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$
Dễ CM: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc+(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{1}{8}+1)(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{9}{8}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8\sum a}$
Lại có: $1=(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{27}.(2\sum a)^3\Rightarrow \sum a\geq \frac{3}{2}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8.\frac{3}{2}}=\frac{3}{4}$(đpcm)
Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
20.ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=3$
$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$
$\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq a+1-\frac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$
Tương tự $\Rightarrow VT\geq 3+\frac{\sum a}{2}-\frac{\sum ab}{2}\geq 4.5-\frac{(\sum a)^2}{6}=VP(đpcm)$
Dấu ''='' xr khi a=b=c=1
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
43. ĐK: $a,b,c> 0$; &a+b+c=1$
$\frac{1-2ab}{c}+\frac{1-2bc}{a}+\frac{1-2ca}{b}\geq 7$
Ta có: $\sum \frac{1-2ab}{c}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ac}{c}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+4(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}.\frac{9}{a+b+c}+4=7$
Bạn đăng những bài chưa làm và bài còn lại đi!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 07-09-2016 - 14:38
42. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
$\frac{a^{3}}{2b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{2c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{2a^{2}+b^{2}}\geq 1$
Bổ đề: $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
$\sum \frac{a^{4}}{2ab^{2}+ac^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2})}\geq \frac{9}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=1$
Ta có: $\sum \frac{1-2ab}{c}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ac}{c}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+4(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}.\frac{9}{a+b+c}+4=7$
Xin lỗi bạn nhé nhưng mình hơi bận nên ko đăng dc nên mọi người vui lòng chờ dịp nào đó mình đăng vậy. Mình cảm ơn các bạn đã ủng hộ mình!
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
Lần này sẽ là những bài khó hơn lần trước nhé
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
1. Cho $a,,b$ là những số thực dương, chứng minh rằng:
$\sqrt[3]{\frac{(a+b)\left ( a^{2}+b^{} \right )}{4}}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DangHongPhuc: 30-10-2016 - 15:15
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
3. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$, chứng minh rằng:
$\frac{a}{a^{2}-bc+1}+\frac{b}{b^{2}-ca+1}+\frac{c}{c^{2}-ab+1}\geq \frac{1}{a+b+c}$
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
4. Cho $a,b,c$ là những số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$, chứng minh rằng:
$\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\left ( b^{2}-bc+c^{2} \right )\left ( c^{2}-ca+a^{2} \right )\leq 12$
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
5. Cho $a,b,c,x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $a+x=b+y=c+z=1$, chứng minh rằng:
$\left ( abc+xyz \right )\left ( \frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx} \right )\geq 3$
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
4.$a^2-ab+b^2\leq (a-b)^2+\frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow \prod (a^2-ab+b^2)\leq \frac{\left [ (a+b)(b+c)(c+a) \right ]^2}{64}\leq 12$ (am-gm)
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh