Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trường hè toán học năm 2016 (phần đại số)

bangbang1412

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1560 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Being and Algebraic Geometry

Đã gửi 31-07-2016 - 02:15

                                            TRƯỜNG HÈ TOÁN HỌC NĂM 2016 (ĐẠI SỐ) 

Được sự cho phép của thầy Trần Quốc Luật - GV trường THPT chuyên Hà Tĩnh, hôm nay - khi Trường hè Toán học 2016 ở ba miền đã kết thúc, mình xin đăng lại phần bài giảng của thầy với tư cách là một học sinh tham gia Trường hè (Chủ đề: Một số định hướng chứng minh tồn tại trong đại số). 

 

1. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ tam thức bậc hai khác nhau từng đôi một thỏa mãn:

i) mỗi tam thức bậc hai có hệ số của ${{x}^{2}}$ bằng 1;

ii) tổng của 2 tam thức bậc hai bất kỳ có đúng 1 nghiệm.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số thực ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ thuộc $(-1;1)$ và thỏa mãn điều kiện

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}=0;a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}=k$ với $k$ nguyên dương cho trước.

3. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại $n$ số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

i) tổng của $n$ số đó dương;

ii) tổng lập phương của $n$ số đó âm;

iii) tổng lũy thừa bậc $5$ của $n$  số đó dương.

4. Người ta viết lên bảng phương trình

$(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2016)$

với 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế.

Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa đi $k$ nhân tử trong số 4032 nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.

5. Cho các số thực phân biệt ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},...,{{\alpha }_{16}}$.

Với mỗi đa thức hệ số thực $P(x),$ đặt $V(P(x))=P({{\alpha }_{1}})+P({{\alpha }_{2}})+...+P({{\alpha }_{16}}).$

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đa thức $Q(x)$ bậc 8 có hệ số ${{x}^{8}}$ bằng $1$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

i) $V(Q(x)\cdot P(x))=0$ với mọi đa thức $P(x)$ có bậc bé hơn 8;

ii) $Q(x)$ có $8$ nghiệm thực (tính cả bội).

6. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức bậc $2n$ có ít nhất một nghiệm thực, đồng thời tất cả các hệ số của đa thức này đều là các số thực thuộc đoạn $[2015;2016].$

7. Cho số thực $k,$ số nguyên dương $n$ và các số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}.$ Chứng minh rằng tồn tại $n$ số ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ nhận giá trị thuộc $\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1;1\}$ sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng

${{a}_{1}}x_{1}^{k}+{{a}_{2}}x_{2}^{k}+...+{{a}_{n}}x_{n}^{k}\ge {{\left( {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{a}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}_{n}} \right)}^{k}}.$

8. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho trong $n$ số thực dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ thỏa mãn $\max ({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}})\le \frac{n}{2}.\min ({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}})$ luôn tồn tại ba số là chiều dài các cạnh của một tam giác nhọn.

 

9. Với mỗi tập $M\subset \mathbb{R}$ hữu hạn, bị chặn, ta kí hiệu

$\text{conv}\left( M \right)=\left\{ \sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}.{{x}_{i}}}|n\in {{\mathbb{N}}^{*}},{{\lambda }_{i}}\in \mathbb{R},{{\lambda }_{i}}\ge 0,\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\lambda }_{i}}}=1,{{x}_{i}}\in M \right\}.$

Chứng minh rằng với mỗi tập $M\subset \mathbb{R},M\ne \varnothing $ và $\forall x\in \text{conv}(M),\forall \varepsilon >0$ thì ta có thể chọn được các phần tử ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{k}}\in M$ sao cho

$\left| \frac{1}{k}\sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}-x \right|<\varepsilon .$

10. Cho trước 2 số nguyên dương $k,n.$ Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương ${{m}_{1}},{{m}_{2}},...,{{m}_{k}}$ thỏa mãn

$1+\frac{{{2}^{k}}-1}{n}=\left( 1+\frac{1}{{{m}_{1}}} \right)\left( 1+\frac{1}{{{m}_{2}}} \right)...\left( 1+\frac{1}{{{m}_{k}}} \right).$

11. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực $P(x),Q(x),R(x,y)$ thỏa mãn điều kiện: 

Với mọi số thực $a,b$ mà ${{b}^{2}}={{a}^{m}}$ thì $P(R(a,b))=a$ và $Q(R(a,b))=b.$

12. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}}$ khác nhau đôi một thỏa mãn với mọi số nguyên $i,j$ thỏa mãn  $1\le i\ne j\le n$ thì  $(3{{x}_{i}}-{{x}_{j}})({{x}_{i}}-3{{x}_{j}})\ge {{(1-{{x}_{i}}{{x}_{j}})}^{2}}.$

13. Chứng minh tồn tại vô số số $n$ sao cho phần lẻ của $\ln [(2{{n}^{2}}+1)({{n}^{2}}+n+1)]$ không vượt quá $\frac{1}{2016}.$

14. Cho một dãy bất kỳ gồm vô hạn các số thực dương ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...$  Chứng minh tồn tại vô hạn giá trị $n$ để bất đẳng thức sau đúng $1+{{a}_{n}}>{{a}_{n-1}}\sqrt[n]{2}.$

15. Cho đa thức bậc ba hệ số nguyên $P(x)$ thỏa mãn điều kiện: tồn tại vô số cặp số nguyên phân biệt $(m,n)$ sao cho $mP(m)=nP(n).$ Chứng minh đa thức $P(x)$ có nghiệm nguyên.

16. Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: tồn tại vô số cặp số nguyên $(m,n)$ sao cho $P(m)+P(n)=0.$ Chứng minh rằng đồ thị của hàm số $y=P(x)$ có tâm đối xứng.

 

17. Cho dãy các đa thức hệ số thực ${{\left\{ {{P}_{n}}(x) \right\}}_{n=1,2,3,...}}$ thỏa mãn điều kiện  ${{P}_{n}}(2\cos x)={{2}^{n}}\cos nx;\forall x\in \mathbb{R};\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

Tìm số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $\frac{\sqrt[2016]{{{P}_{2016}}(x)}-2}{x-2}\le k;\forall x\ne 2.$ 

18. Cho đa thức $f(x)$ hệ số thực khác hằng. Chứng minh với mỗi số $c>0,$ tồn tại số nguyên dương ${{n}_{0}}$ thoả mãn điều kiện: Nếu đa thức $P(x)$ với hệ số thực có bậc $k$ không nhỏ hơn ${{n}_{0}}$ và có hệ số của số hạng bậc cao nhất bằng 1 thì số các số nguyên $x$ thỏa mãn $\left| f(P(x)) \right|\le c$ không vượt quá $k.$

19. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc bằng $n$ với hệ số đầu dương thỏa mãn điều kiện $\frac{4{{x}^{2}}{{P}^{2}}(x)+P(x)}{{{x}^{2}}-1}$ là bình phương của một đa thức hệ số nguyên.

20. Chứng minh với mỗi số nguyên dương $n,$ tồn tại đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ bậc $n$ sao cho $P(0),P(1),...,P(n)$ phân biệt và tất cả các số đó đều có dạng ${{2.2016}^{k}}+3$ với $k$ nguyên dương.

21. Cho tập hợp $S$ gồm 2016 phần tử là các số thực đôi một phân biệt. Chứng minh trong $S$ chứa 4 số $a,b,c,d$ (không nhất thiết phân biệt) mà $a>b;c>d;{{(a-c)}^{2}}+{{(b-d)}^{2}}\ne 0$ thỏa mãn $\left| \frac{a-b}{c-d}-1 \right|<{{10}^{-5}}.$

22. Cho $n$ một số nguyên dương không phải là số lập phương.

Xét các số $a,b,c$ cho bởi công thức $a=\sqrt[3]{n};b=\frac{1}{\left\{ a \right\}};c=\frac{1}{\left\{ b \right\}}$ trong đó $\left\{ x \right\}$ là phần lẻ của số thực $x.$ Chứng minh có vô hạn $n$ sao cho tồn tại các số nguyên $r,s,t$ không cùng bằng không mà $ra+sb+tc=0.$

23. Cho ${{a}_{ij}}$ là các số thực thỏa mãn ${{a}_{ij}}>0$ nếu $i=j$ và ${{a}_{ij}}<0$ nếu $i\ne j.$ Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương ${{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}$  sao cho các s ${{a}_{11}}{{c}_{1}}+{{a}_{12}}{{c}_{2}}+{{a}_{13}}{{c}_{3}},{{a}_{21}}{{c}_{1}}+{{a}_{22}}{{c}_{2}}+{{a}_{23}}{{c}_{3}},{{a}_{31}}{{c}_{1}}+{{a}_{32}}{{c}_{2}}+{{a}_{33}}{{c}_{3}}$ cùng bằng không, cùng dương hoặc cùng âm.   

24. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn

$f(m)+f(n)+f(f({{m}^{3}}+{{n}^{3}}))=2017;\forall m,n\in \mathbb{Z}.$

Giả sử rằng tồn tại các số nguyên $a,b$ sao cho $f(a)-f(b)=3.$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $c,d$ thỏa mãn $f(c)-f(d)=2016.$

25. Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện $a<\frac{b}{2}<\frac{c}{4}.$ Chứng minh tồn tại một số thực $\lambda $ thỏa mãn $\left\{ \lambda a \right\},\left\{ \lambda b \right\},\left\{ \lambda c \right\}\in \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3} \right].$

26. Cho các số thực ${{x}_{i}},i=1,2,...,100$ thỏa mãn $\sum\limits_{i=1}^{100}{x_{i}^{2}}=1.$ Chứng minh tồn tại các số nguyên ${{a}_{i}},i=1,2,...,n$ thuộc đoạn $[-200;200]$ thỏa mãn

$\left| \sum\limits_{i=1}^{100}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}} \right|\le \frac{2016}{{{200}^{100}}}.$

27. Cho $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\in \mathbb{R}[x],a\ne 0$ thỏa mãn $f(x)\ge 0;\forall x\ge 0.$ Chứng minh rằng tồn tại đa thức $P(x)$ sao cho đa thức $f(x)P(x)$ có tất cả các hệ số đều không âm.

28. Cho 2016 số thực ${{x}_{i}}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ với mọi $i=\overline{1,...,2016}$ thỏa mãn $\left| \sum\limits_{i=1}^{2016}{{{x}_{i}}} \right|>1.$

Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho

$\left| \sum\limits_{i=1}^{k}{{{x}_{i}}}-\sum\limits_{i=k+1}^{2016}{{{x}_{i}}} \right|\le 1.$

29. Xét $n$ số nguyên dương $0<{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le ...\le {{x}_{n}}<2$ có tổng bằng 3.

Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương $k\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;n-1\text{ }\!\!]\!\!\text{ }$ sao cho

$1\le {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{k}}\le 2.$

30. Cho hàm $f:(0;1)\to (0;1)$ xác định bởi $f(x)=x+\frac{1}{2};\forall x<\frac{1}{2};f(x)={{x}^{2}};\forall x\ge \frac{1}{2}.$

Xét $0<a<b<1$ và 2 dãy ${{a}_{0}}=a,{{b}_{0}}=b;{{a}_{n}}=f({{a}_{n-1}});{{b}_{n}}=f({{b}_{n-1}});\forall n\ge 1.$

Chứng minh rằng tồn tại $n$ thỏa mãn $({{a}_{n}}-{{a}_{n-1}})({{b}_{n}}-{{b}_{n-1}})<0.$

31. Cho đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ bậc $n$ sao cho $\frac{2{P}'(-1)}{P(-1)}+n\ge 0.$ Chứng minh rằng $P(x)$ có ít nhất một nghiệm (thực hoặc phức) ${{x}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{0}} \right|\ge 1.$

32. Tồn tại hay không các số thực ${{a}_{ij}}\in \text{ }[0;1];\forall i=1,...,2016;j=1,...,2016$ thỏa mãn điều kiện

$\frac{1}{\sqrt[2016]{mn}}\sum\limits_{i=1}^{m}{\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{ij}}}}=1;\forall m=1,...,2016;n=1,...,2016.$?

 

33. Cho $({{a}_{n}})$ là dãy số dương sao cho tồn tại $M>0$ thỏa

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}<Ma_{n+1}^{2};\forall n\ge 1.$

Chứng minh tồn tại ${M}'>0$ sao cho

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}<{M}'{{a}_{n+1}};\forall n\ge 1.$

34. Cho ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}\ldots $ là một dãy vô hạn số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất $n\ge 1$ sao cho

${{a}_{n}}<\frac{{{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdots +{{a}_{n}}}{n}\le {{a}_{n+1}}.$

Nếu bỏ giả thiết dãy nguyên dương thì kết quả trên còn đúng nữa không?

35. Cho dãy các số thực ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...$ thỏa mãn tồn tại $c$ sao cho $0\le {{a}_{i}}\le c;\forall i\ge 1$ và  $\left| {{a}_{i}}-{{a}_{j}} \right|\ge \frac{1}{i+j};\forall i,j$ mà $i\ne j.$

Chứng minh $c\ge 1.$

36. Chứng minh với mỗi số nguyên $n$ tồn tại vô hạn cách viết $n$ dưới dạng

$n=\pm {{1}^{2}}\pm {{2}^{2}}\pm ...\pm {{k}^{2}}$

với số nguyên dương $k$ và các dấu +, − được chọn phù hợp.

37. Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho tồn tại các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ và $\frac{1}{{{a}^{k}}(b+c)}+\frac{1}{{{b}^{k}}(c+a)}+\frac{1}{{{c}^{k}}(a+b)}<\frac{3}{2}.$

38.  Chứng minh rằng với mọi số thực $a$ luôn tồn tại duy nhất một dãy gồm 2016 số thực thỏa mãn ${{x}_{0}}={{x}_{2015}}=0$ và

${{x}_{i+1}}=2x_{i}^{3}+2{{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}-2{{a}^{3}};\forall i\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2014].$

39. Cho hai dãy số $({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}),({{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}})$ với ${{a}_{i}},{{b}_{i}}\in \{1,2,...,n\}.$ Chứng minh tồn tại hai dãy con các số hạng kề nhau có tổng bằng nhau.

40. Cho dãy số thực ${{a}_{0}},{{a}_{1}},...$ thỏa mãn ${{a}_{n+1}}=\left[ {{a}_{n}} \right].\left\{ {{a}_{n}} \right\};\forall n\ge 0.$ Chứng minh rằng tồn tại $N$ sao cho ${{a}_{i+2}}={{a}_{i}}$ với mọi $i\ge N.$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 11-08-2016 - 22:31

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 01-08-2016 - 22:22

Bài 2

Giả sử các số âm, số dương trong $n$ số đã cho lần lượt là $b_1;b_2;...;b_m, c_1;c_2;...;c_p$. Giả sử $m\leq p\Rightarrow m\leq \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$. Vì $b_i\in (-1;0)$ nên $-\sum_{i=1}^{m}b_i=\sum_{i=1}^{p}c_i<m$; $b_i^2<-b_i$. Tương tự $c_i^2<c_i$. Vậy

$2k=\sum_{i=1}^{n}a_i^2=\sum_{i=1}^{m}b_i^2+\sum_{i=1}^{p}c_i^2<-\sum_{i=1}^{m}b_i+\sum_{i=1}^{p}c_i<2m\leq 2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\Rightarrow n\geq 2k+2$

Với $n=2k+2$ ta chọn $k+1$ số bằng $-\sqrt{\frac{k}{k+1}}$, $k+1$ số bằng $\sqrt{\frac{k}{k+1}}$ thỏa mãn. Vậy $n=2k+2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 01-08-2016 - 22:29


#3 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 12-08-2016 - 14:27

Câu 2 mình dùng cauchy cho n số thực ?

myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#4 quangkhaiolympic

quangkhaiolympic

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 26-10-2016 - 23:13

có file lời giải ko



#5 thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Trảm phong binh pháp

Đã gửi 07-11-2016 - 15:14

 

 

37. Tìm tất cả các số thực $k$ sao cho tồn tại các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ và $\frac{1}{{{a}^{k}}(b+c)}+\frac{1}{{{b}^{k}}(c+a)}+\frac{1}{{{c}^{k}}(a+b)}<\frac{3}{2}.$

 

- Xét trường hợp $k \ge 2$. Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{{{a}^{k}}(b+c)}+\frac{1}{{{b}^{k}}(c+a)}+\frac{1}{{{c}^{k}}(a+b)} \ge \frac{3}{2}.$ với mọi $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$. Không mất tính tổng quát giả sử $ a \le b \le c$. Đặt: $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$. Khi đó $x,y,z >0$ và $xyz=1$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sum \frac{x^{k-1}}{y+z} \ge \frac{3}{2}$

Ta có:$x \geq y\geq z \Rightarrow \frac{x}{y+z} \geq \frac{y}{z+x} \geq \frac{z}{x+y}$

Theo bất đẳng thức Chebyshev :

$(x^{k-2}+y^{k-2}+z^{k-2})(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}) \le 3(\frac{x^{k-1}}{y+z}+\frac{y^{k-1}}{z+x}+\frac{z^{k-1}}{x+y})$.

Mà theo Nesbitt: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \ge \frac{3}{2}$, và AM-GM: $x^{k-2}+y^{k-2}+z^{k-2} \ge 3$ nên:

$\frac{x^{k-1}}{y+z}+\frac{y^{k-1}}{z+x}+\frac{z^{k-1}}{x+y} \geq \frac{3}{2}$

Vậy $k \ge 2$ không thỏa mãn.

- Xét trường hợp $ \frac{1}{2}<k<2$ Cho $a=b=\frac{1}{n}$ $c=n^2$. Thì: 

$S=\frac{1}{{{a}^{k}}(b+c)}+\frac{1}{{{b}^{k}}(c+a)}+\frac{1}{{{c}^{k}}(a+b)}=\frac{2n^{k+1}}{n^3+1}+\frac{n^{1-2k}}{2}$

 

Khi đó $\underset{n \rightarrow  +\infty }{lim}S=0$, suy ra với $n$ đủ lớn thì $S  <\frac{3}{2}$ 

Vậy: $ \frac{1}{2}<k<2$ thỏa mãn.

- Xét trường hợp: $ \frac{1}{2}=k$. Cho $a=b=n$ $c=\frac{1}{n^2}$ Khi đó:

$S=\frac{2n^{2-\frac{1}{2}}}{n^3+1}+\frac{1}{2}$

Khi đó $\underset{n \rightarrow  +\infty }{lim}S=\frac{1}{2}$, suy ra với $n$ đủ lớn thì $S  <\frac{3}{2}$ 

Vậy $ \frac{1}{2}=k$ thỏa mãn.

- Xét trường hợp $-1 <k < \frac{1}{2}$. Chọn $a=b=n$ $c=\frac{1}{n^2}$ thì:

$S=\frac{2n^{2-k}}{n^3+1}+\frac{n^{2k-1}}{2} \Rightarrow \underset{n \rightarrow  +\infty }{lim}S=0$

Nên  $-1 <k < \frac{1}{2}$ thỏa mãn.

- Xét trường hợp $ k \le -1$. Ta chứng minh: $\frac{1}{{{a}^{k}}(b+c)}+\frac{1}{{{b}^{k}}(c+a)}+\frac{1}{{{c}^{k}}(a+b)} \ge \frac{3}{2}.$

Nếu đặt $h=1-k \ge 2$ thì theo chứng minh trên:

$\frac{1}{{{x}^{h}}(y+z)}+\frac{1}{{{y}^{h}}(z+x)}+\frac{1}{{{z}^{h}}(x+y)} \ge \frac{3}{2}\\\Leftrightarrow \frac{a^{h-1}}{b+c}+\frac{b^{h-1}}{c+a}+\frac{c^{h-1}}{a+b}  \geq \frac{3}{2} \\\Leftrightarrow \frac{a^{-k}}{b+c}+\frac{b^{-k}}{c+a}+\frac{c^{-k}}{a+b}  \geq \frac{3}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{k}}(b+c)}+\frac{1}{{{b}^{k}}(c+a)}+\frac{1}{{{c}^{k}}(a+b)} \ge \frac{3}{2}$

Vậy $ k \le -1$ không thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Kết luận: Tập giá trị $k$ cần tìm là: $\left ( -1;2 \right )$



#6 vietdohoangtk7nqd

vietdohoangtk7nqd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đã gửi 07-11-2016 - 15:52

Mấy bài này các bạn chưa có đáp án à, mình có hết đấy nhưng không có file chì có tài liệu bằng giấu trắng chữ đen thôi nên không đưa lên được



#7 tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-11-2016 - 21:03

Mấy bài này các bạn chưa có đáp án à, mình có hết đấy nhưng không có file chì có tài liệu bằng giấu trắng chữ đen thôi nên không đưa lên được

chụp ảnh đi bạn 


      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#8 vietdohoangtk7nqd

vietdohoangtk7nqd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đã gửi 10-11-2016 - 21:45

mình cũng muốn đưa lên để giao lưu nhưng không biết cách chụp ảnh đưa lên vì dốt tin học quá, cho mình xin lỗi, có bạn nào chỉ mình cách chụp ảnh thì mình cám ơn chứ bây giờ mình đang gõ nó ra work để lưu trữ khi nào gõ xong thì mình sẽ đưa lên các bạn nhé



#9 tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-12-2016 - 18:44

mình cũng muốn đưa lên để giao lưu nhưng không biết cách chụp ảnh đưa lên vì dốt tin học quá, cho mình xin lỗi, có bạn nào chỉ mình cách chụp ảnh thì mình cám ơn chứ bây giờ mình đang gõ nó ra work để lưu trữ khi nào gõ xong thì mình sẽ đưa lên các bạn nhé

cảm ơn bạn nhé mong bạn sẽ nhanh lên mình sẽ đợi 


      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#10 EstarossaHT

EstarossaHT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 23-12-2019 - 18:11

mn có đáp án không ạ







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bangbang1412

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh