Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^2+y^2+x+y+1=xyz$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 31-07-2016 - 12:01

Tìm tất cả bộ ba số tự nhiên $(x,y,z)$ thỏa mãn:  $x^2+y^2+x+y+1=xyz$



#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 27-08-2016 - 22:43

Sau một hồi ,ta giải ra được $z=5$ 
PT viết lại thành $x^2+y^2+x+y+1=5xy$ (2) 
Nếu phương trình (2) có nghiệm nguyên dương $(x_0,y_0) (x_0 \ge y_0)$ thì nó cũng có nghiệm nguyên dương $(y_1,y_0)$ với $y_1=5x_0-y_0-1>x_0$ 
Ta xây dựng dãy : 
$\begin{cases} \\u_1=u_2=1\\&&\\u_{k+2}=5u_{k+1}-u_k-1\\ \end{cases}$ 
Ta sẽ chứng tỏ  $(x,y)=(u_{k+1},u_k)$ vét cạn nghiệm của (2) 
Giả sử $(x_0,y_0) (x_0 \ge y_0)$ là nghiệm của (2) . Ta sẽ chứng tỏ tồn tại $m \in \mathbb{N^*}$ sao cho $(x_0,y_0)=(u_{m+1},u_m)$ . Giả sử điều đó ko đúng . Ta gọi $(a,b) , a \ge b$ là một nghiệm của (2) mà $(a,b) \ne (u_{k+1},u_k)$ với mọi $k$ nguyên dương sao cho $a$ là nhỏ nhất trong các bộ đó 
Nếu $a=b$ thì $a=b=1$ dẫn đến $(a,b)=(u_2,u_1)$ mâu thuẫn 
Nếu $a>b$ thì ta có $(b,5b-a-1)$ cũng là một nghiệm nguyên dương của (2) . Ta thử xem xét rằng $5b=\frac{a^2+a+1}{a}>a+1)$ mà theo cách chọn $a$ ta suy ra tồn tại $m \in \mathbb{N^*}$ sao cho : 
$\begin{cases} \\b=u_{m+1}\\&&\\u_m=5b-a-1\\ \end{cases}$  
Suy ra $a=u_{m+2},b=u_{m+1}$ (mâu thuẫn) 
Vậy nếu $(x_0,y_0)$ là một nghiệm của (2) với $x_0 \ge y_0$ thì sẽ tồn tại $m \in \mathbb{N^*}$ sao cho 
$(x_0,y_0)=(u_{m+1},u_m)$ 
Do đó $(x,y)=(u_{k+1},u_k)$ là toàn bộ nghiệm nguyên dương của (2) với chú ý rằng $x \ge y$ 
Vậy nghiệm của phương trình là 
$(x,y,z)=(u_{k+1},u_k,5);u_{k},u_{k+1},5), k=\overline{1,..}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh