Tìm tất cả bộ ba số tự nhiên $(x,y,z)$ thỏa mãn: $x^2+y^2+x+y+1=xyz$
$x^2+y^2+x+y+1=xyz$
#1
Đã gửi 31-07-2016 - 12:01
#2
Đã gửi 27-08-2016 - 22:43
Sau một hồi ,ta giải ra được $z=5$
PT viết lại thành $x^2+y^2+x+y+1=5xy$ (2)
Nếu phương trình (2) có nghiệm nguyên dương $(x_0,y_0) (x_0 \ge y_0)$ thì nó cũng có nghiệm nguyên dương $(y_1,y_0)$ với $y_1=5x_0-y_0-1>x_0$
Ta xây dựng dãy :
$\begin{cases} \\u_1=u_2=1\\&&\\u_{k+2}=5u_{k+1}-u_k-1\\ \end{cases}$
Ta sẽ chứng tỏ $(x,y)=(u_{k+1},u_k)$ vét cạn nghiệm của (2)
Giả sử $(x_0,y_0) (x_0 \ge y_0)$ là nghiệm của (2) . Ta sẽ chứng tỏ tồn tại $m \in \mathbb{N^*}$ sao cho $(x_0,y_0)=(u_{m+1},u_m)$ . Giả sử điều đó ko đúng . Ta gọi $(a,b) , a \ge b$ là một nghiệm của (2) mà $(a,b) \ne (u_{k+1},u_k)$ với mọi $k$ nguyên dương sao cho $a$ là nhỏ nhất trong các bộ đó
Nếu $a=b$ thì $a=b=1$ dẫn đến $(a,b)=(u_2,u_1)$ mâu thuẫn
Nếu $a>b$ thì ta có $(b,5b-a-1)$ cũng là một nghiệm nguyên dương của (2) . Ta thử xem xét rằng $5b=\frac{a^2+a+1}{a}>a+1)$ mà theo cách chọn $a$ ta suy ra tồn tại $m \in \mathbb{N^*}$ sao cho :
$\begin{cases} \\b=u_{m+1}\\&&\\u_m=5b-a-1\\ \end{cases}$
Suy ra $a=u_{m+2},b=u_{m+1}$ (mâu thuẫn)
Vậy nếu $(x_0,y_0)$ là một nghiệm của (2) với $x_0 \ge y_0$ thì sẽ tồn tại $m \in \mathbb{N^*}$ sao cho
$(x_0,y_0)=(u_{m+1},u_m)$
Do đó $(x,y)=(u_{k+1},u_k)$ là toàn bộ nghiệm nguyên dương của (2) với chú ý rằng $x \ge y$
Vậy nghiệm của phương trình là
$(x,y,z)=(u_{k+1},u_k,5);u_{k},u_{k+1},5), k=\overline{1,..}$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh