Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR với a,b,c>0 thì: $\sum {\frac{{a^2 }}{{b^2 + c^2}} \ge \sum {\frac{a}{{b + c}}} } $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 baybay1

baybay1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đã gửi 31-07-2016 - 12:16

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

 
 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 02-08-2016 - 05:40


#2 SuPeR NaM

SuPeR NaM

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Xương.Thanh Hoá
  • Sở thích:Ăn, Ngủ và Học =))))

Đã gửi 11-08-2016 - 18:02

 

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

 
 

 

Áp dụng BĐT $\LARGE \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}$ ta có

 

$\LARGE \LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}$

C/m tương tự $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca}\geq \frac{4b^2}{(c+a)^2}$

 $\LARGE \frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{2ab}\geq \frac{4c^2}{(a+b)^2}$

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(a+c)^2}+ \frac{4c^2}{(a+b)^2} (1)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được

 

 $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+1\geq \frac{4a}{b+c}$

 

C/m tương tự $\LARGE =>$$\LARGE \frac{4b^2}{(c+a)^2}+1\geq \frac{4b}{c+a}$

 

$\LARGE \frac{4c^2}{(a+b)^2}+1\geq \frac{4c}{a+b}$

 

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(c+a)^2}+\frac{4c^2}{(a+b)^2}\geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3 (2)$

 

Từ (1) và (2) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3-\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} (3)$

 

Lại có  

$\LARGE a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ ( BĐT Cauchy)

=> $\LARGE -\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\leq -\frac{3}{2}$

 

$\LARGE =>$$\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}$

$\LARGE \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (Nếu bạn chưa c/m được thì ib cho mình nhé :D  :D )

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} (4)$

Từ (3) và (4) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuPeR NaM: 11-08-2016 - 20:30

                                                    :oto:  :oto:  !!! Say Oh Yeah  !!!   :oto:  :oto:


#3 81NMT23

81NMT23

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Everything

Đã gửi 11-08-2016 - 21:35

 

Áp dụng BĐT $\LARGE \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}$ ta có

 

$\LARGE \LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}$

C/m tương tự $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca}\geq \frac{4b^2}{(c+a)^2}$

 $\LARGE \frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{2ab}\geq \frac{4c^2}{(a+b)^2}$

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(a+c)^2}+ \frac{4c^2}{(a+b)^2} (1)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được

 

 $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+1\geq \frac{4a}{b+c}$

 

C/m tương tự $\LARGE =>$$\LARGE \frac{4b^2}{(c+a)^2}+1\geq \frac{4b}{c+a}$

 

$\LARGE \frac{4c^2}{(a+b)^2}+1\geq \frac{4c}{a+b}$

 

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(c+a)^2}+\frac{4c^2}{(a+b)^2}\geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3 (2)$

 

Từ (1) và (2) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3-\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} (3)$

 

Lại có  

$\LARGE a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ ( BĐT Cauchy)

=> $\LARGE -\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\leq -\frac{3}{2}$

 

$\LARGE =>$$\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}$

$\LARGE \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (Nếu bạn chưa c/m được thì ib cho mình nhé :D  :D )

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} (4)$

Từ (3) và (4) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c 

 

Chỗ tô đỏ đó sai rồi bạn ơi, do không thể cộng 2 BĐt ngược dấu



#4 SuPeR NaM

SuPeR NaM

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Xương.Thanh Hoá
  • Sở thích:Ăn, Ngủ và Học =))))

Đã gửi 12-08-2016 - 08:55

Chỗ tô đỏ đó sai rồi bạn ơi, do không thể cộng 2 BĐt ngược dấu

Để mình xem lại đã  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuPeR NaM: 12-08-2016 - 08:56

                                                    :oto:  :oto:  !!! Say Oh Yeah  !!!   :oto:  :oto:


#5 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 12-08-2016 - 11:44

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

Lời giải.

$$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$$
$$\Leftrightarrow \sum \left ( a^{2}+\sum ab \right )\left [ \sum \frac{ab\left ( b-c \right )^{2}}{\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2} \right )} \right ]\geq 0$$

Thích ngủ.


#6 rfiyms

rfiyms

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:FPT university

Đã gửi 12-08-2016 - 12:03

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

Ta có:
\begin{align*} \text{VT}-\frac{3}{2} &=\frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1 \right ) \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )+\left ( a-c \right )\left ( a+c \right )}{b^{2}+c^{2}} \\ &=\frac{1}{2}\sum \left [ \frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{b^{2}+c^{2}}-\frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{a^{2}+c^{2}} \right ] \\ &=\frac{1}{2}\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )} \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )} \end{align*}
Tương tự:
\begin{align*} \text{VP}-\frac{3}{2} &=\frac{1}{2}\sum \frac{a-b+a-c}{b+c} \\ &=\frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{a+c} \right ) \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( b+c \right )\left ( a+c \right )} \\ \end{align*}
Trừ vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
$$\text{VT}-\text{VP}=\frac{1}{2}\sum \left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )}-\frac{1}{\left ( b+c \right )\left ( a+c \right )} \right ]$$
Theo tiêu chuẩn $2$ của phương pháp $\text{S.O.S}$ bất đẳng thức cuối đúng do đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

 


Как дай вам бог любимой быть другим.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh