Chủ đề này có 5 trả lời

[baybay1]

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 02-08-2016 - 05:40

[SuPeR NaM]

 

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

 

 

 

Áp dụng BĐT $\LARGE \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}$ ta có

 

$\LARGE \LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}$

C/m tương tự $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca}\geq \frac{4b^2}{(c+a)^2}$

 $\LARGE \frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{2ab}\geq \frac{4c^2}{(a+b)^2}$

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(a+c)^2}+ \frac{4c^2}{(a+b)^2} (1)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được

 

 $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+1\geq \frac{4a}{b+c}$

 

C/m tương tự $\LARGE =>$$\LARGE \frac{4b^2}{(c+a)^2}+1\geq \frac{4b}{c+a}$

 

$\LARGE \frac{4c^2}{(a+b)^2}+1\geq \frac{4c}{a+b}$

 

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(c+a)^2}+\frac{4c^2}{(a+b)^2}\geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3 (2)$

 

Từ (1) và (2) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3-\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} (3)$

 

Lại có  

$\LARGE a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ ( BĐT Cauchy)

=> $\LARGE -\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\leq -\frac{3}{2}$

 

$\LARGE =>$$\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}$

Mà $\LARGE \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (Nếu bạn chưa c/m được thì ib cho mình nhé   )

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} (4)$

Từ (3) và (4) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuPeR NaM: 11-08-2016 - 20:30

[81NMT23]

 

Áp dụng BĐT $\LARGE \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\geq \frac{(x+y)^2}{m+n}$ ta có

 

$\LARGE \LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}$

C/m tương tự $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca}\geq \frac{4b^2}{(c+a)^2}$

 $\LARGE \frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{2ab}\geq \frac{4c^2}{(a+b)^2}$

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\geq \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(a+c)^2}+ \frac{4c^2}{(a+b)^2} (1)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta được

 

 $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+1\geq \frac{4a}{b+c}$

 

C/m tương tự $\LARGE =>$$\LARGE \frac{4b^2}{(c+a)^2}+1\geq \frac{4b}{c+a}$

 

$\LARGE \frac{4c^2}{(a+b)^2}+1\geq \frac{4c}{a+b}$

 

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a^2}{(b+c)^2}+\frac{4b^2}{(c+a)^2}+\frac{4c^2}{(a+b)^2}\geq \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3 (2)$

 

Từ (1) và (2) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-3-\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc} (3)$

 

Lại có  

$\LARGE a^3+b^3+c^3\geq 3abc$ ( BĐT Cauchy)

=> $\LARGE -\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\leq -\frac{3}{2}$

 

$\LARGE =>$$\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}$

Mà $\LARGE \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (Nếu bạn chưa c/m được thì ib cho mình nhé   )

$\LARGE =>$ $\LARGE \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}-\frac{9}{2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} (4)$

Từ (3) và (4) $\LARGE =>$ $\LARGE \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c 

 

Chỗ tô đỏ đó sai rồi bạn ơi, do không thể cộng 2 BĐt ngược dấu

[SuPeR NaM]

Chỗ tô đỏ đó sai rồi bạn ơi, do không thể cộng 2 BĐt ngược dấu

Để mình xem lại đã 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SuPeR NaM: 12-08-2016 - 08:56

[L Lawliet]

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

Lời giải.

$$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$$

$$\Leftrightarrow \sum \left ( a^{2}+\sum ab \right )\left [ \sum \frac{ab\left ( b-c \right )^{2}}{\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2} \right )} \right ]\geq 0$$

[rfiyms]

CMR: với a, b, c > 0 thì:

$\frac{{a^2 }}{{b^2  + c^2 }} + \frac{{b^2 }}{{c^2  + a^2 }} + \frac{{c^2 }}{{a^2  + b^2 }} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$

Ta có:

\begin{align*} \text{VT}-\frac{3}{2} &=\frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1 \right ) \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )+\left ( a-c \right )\left ( a+c \right )}{b^{2}+c^{2}} \\ &=\frac{1}{2}\sum \left [ \frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{b^{2}+c^{2}}-\frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{a^{2}+c^{2}} \right ] \\ &=\frac{1}{2}\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )} \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )} \end{align*}

Tương tự:

\begin{align*} \text{VP}-\frac{3}{2} &=\frac{1}{2}\sum \frac{a-b+a-c}{b+c} \\ &=\frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{a+c} \right ) \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( b+c \right )\left ( a+c \right )} \\ \end{align*}

Trừ vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:

$$\text{VT}-\text{VP}=\frac{1}{2}\sum \left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )}-\frac{1}{\left ( b+c \right )\left ( a+c \right )} \right ]$$

Theo tiêu chuẩn $2$ của phương pháp $\text{S.O.S}$ bất đẳng thức cuối đúng do đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.