Chủ đề này có 5 trả lời

[phoenix115]

Câu 1: Chứng minh rằng $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3(a+b+c)^2}{4}$

Câu 2: Cho $x, y, z$ không âm thõa mãn $\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{1+2y}+\frac{1}{1+2z}=2$

Chứng minh rằng: $xyz\leq \frac{1}{64}$

[doremon01]

Câu 2: 

$\frac{1}{1+2x}=1-\frac{1}{1+2y}+1-\frac{1}{1+2z}=\frac{2y}{2y+1}+\frac{2z}{2z+1}\geq 2\sqrt{\frac{4yz}{(2y+1)(2z+1)}}$

Tương tự: 

$\frac{1}{1+2y}\geq 2\sqrt{\frac{4xz}{(2x+1)(2z+1)}}$

$\frac{1}{1+2z}\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{(2x+1)(2y+1)}}$

Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên lại ta có: 

$\frac{1}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}\geq 8\sqrt{\frac{64x^2y^2z^2}{(2x+1)^2(2y+1)^2(2z+1)^2}}\Leftrightarrow xyz\leq \frac{1}{64}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 31-07-2016 - 14:17

[DangHongPhuc]

Câu 2: 

1-\frac{1}{1+2y}+1-\frac{1}{1+2z}=\frac{2y}{2y+1}+\frac{2z}{2z+1}

là thế nào hả bạn

[dogsteven]

Bài 1. Trong ba số $(2a^2-1)(2b^2-1), (2b^2-1)(2c^2-1), (2c^2-1)(2a^2-1)$ phải có một số không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử $(2b^2-1)(2c^2-1)\geqslant 0$ nên $4(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(2b^2+2c^2+1)$

Do đó $4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)(1+2b^2+2c^2)\geqslant (a+b+c)^2$

Do đó $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant \dfrac{3}{4}(a+b+c)^2$

[iloveyouproht]

Bài 1. Trong ba số $(2a^2-1)(2b^2-1), (2b^2-1)(2c^2-1), (2c^2-1)(2a^2-1)$ phải có một số không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử $(2b^2-1)(2c^2-1)\geqslant 0$ nên $4(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(2b^2+2c^2+1)$

Do đó $4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)(1+2b^2+2c^2)\geqslant (a+b+c)^2$

Do đó $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant \dfrac{3}{4}(a+b+c)^2$

Kỹ thuật anh dùng gọi là gì thế ạ

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Kỹ thuật anh dùng gọi là gì thế ạ

 

Bài 1. Trong ba số $(2a^2-1)(2b^2-1), (2b^2-1)(2c^2-1), (2c^2-1)(2a^2-1)$ phải có một số không âm.

Không mất tính tổng quát, giả sử $(2b^2-1)(2c^2-1)\geqslant 0$ nên $4(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(2b^2+2c^2+1)$

Do đó $4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant 3(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(a^2+1)(1+2b^2+2c^2)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)(1+2b^2+2c^2)\geqslant (a+b+c)^2$

Do đó $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geqslant \dfrac{3}{4}(a+b+c)^2$

Dirichlet p ko ta :-/