Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Lý thuyết Galois và bài toán dựng hình

galois

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1527 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 31-07-2016 - 18:11

                                              Lý thuyết Galois và bài toán dựng hình 

Nói đến các bài toán dựng hình , tức là nói đến phép dựng hình bằng thước kẻ và compa . Thước kẻ được giả định là có độ dài vô hạn , còn compa được giả định là không bị xê dịch hay méo mó khi quay trên trang giấy . Phép dựng hình đã được biết đến từ lâu , và chỉ cần sử dụng ba định đề đầu tiên trong hệ tiên đề Euclid sau đây :

$(D_{1})$ Giữa hai điểm phân biệt bất kì có một đường thẳng .

$(D_{2})$ Một phần bị giới hạn của một đường thẳng có thể kéo dài liên tục thành đường thẳng .

$(D_{3})$ Từ một điểm cho trước và một đoạn thẳng cho trước có thể vẽ một đường tròn có tâm là điểm đã cho và bán kính bằng đoạn đã cho .

Người cổ đại , cũng như học sinh trung học phổ thông ngày nay đều dễ dàng thực hiện các phép dựng hết sức cơ bản dưới đây :

$1.$ Dựng đoạn có độ dài bằng tổng độ dài của hai đoạn cho trước .

$2.$ Dựng đoạn có độ dài bằng hiệu độ dài hai đoạn cho trước .

$3.$ Dựng đoạn $\frac{m}{n}a$ với $\frac{m}{n}$ là một phân số còn $a$ là độ dài của một đoạn cho trước .

$4.$ Dựng một đoạn có độ dài bằng trung bình nhân của độ dài hai đoạn cho trước .

$5.$ Dựng phân giác của một góc cho trước .

$6.$ Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng .

$7.$ Dựng đường thẳng đi qua một điểm và song song , hay vuông góc với một đường thẳng .

$8.$ Dựng tam giác biết : ba cạnh , một cạnh và hai góc , hai cạnh và góc xen giữa .

Từ những phép dựng cơ bản này , người ta có thể thực hiện nhiều bài toán dựng hình phức tạp hơn , như dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một tam giác hay thậm chí một đa giác cho trước . Rồi dựng nghiệm phức của một tam thức bậc hai $ax^{2}+bx+c$ nếu các hệ số $a,b,c$ là các đại lượng đã được coi là dựng được rồi , hoặc dựng hai yếu tố $x,y$ biết tổng và tích của chúng là hai yếu tố đã dựng được ...

Cũng cần lưu ý rằng , người ta đã từng sử dụng dựng hình để giải phương trình , và đã gặp phải hiện tượng nghiệm thì dựng ra được, nhưng con số ứng với nghiệm thì không có , đó là trường hợp găp phải nghiệm vô tỷ của trường phái Pythagoras vào thế kỷ V trước Công nguyên .

Lịch sử dưng hình đã để lại những truyền thuyết nổi tiếng về những bài toán không dựng được hay những phép dựng để lại những dấu ấn cá nhân trong lịch sử toán học .

Hôm nay đọc được phần này hay quá nên mình tóm gọn lại và chỉ nói về sử dụng lý thuyết Galois để giải quyết bài toán dựng hình .

Việc dựng một hình bao giờ cũng quy về việc dựng các điểm trong mặt phẳng tọa độ , hay mặt phẳng phức . Bất đầu từ một trường con $K$ của trường số phức , mà mọi phần tử của $K$ đều là những đại lượng dựng được , hay coi như đã được dựng . Khi đó ta có các nhận xét sau :

$1.$ Nếu một số phức $\alpha$ được xác định bởi hai lần dùng thước kẻ , thì nó chính là nghiệm của một hệ phương trình bậc nhất với các hệ số trên $K$ .

$2.$ Nếu một số phức $\alpha$ được xác định bởi hai lần dùng compa , thì $\alpha$ chính là nghiệm của một hệ phương trình gồm hai phương trình đường tròn với các hệ số trong $K$ .

$3.$ Nếu một số phức $\alpha$ được xác định bởi một lần dùng compa và một lần dùng thước kẻ thì nó là nghiệm của một hệ phương trình gồm một phương trình đường tròn và một phương trình đường thẳng với các hệ số trong $K$ .

Rõ ràng trong cả ba trường hợp trên thì $\alpha$ được quy về nghiệm của một tam thức bậc hai với hệ số trong $K$ . Do vậy việc dựng hình luôn quy về dựng các nghiệm của tam thức bậc hai . Bây giờ ta cần thêm vài quy định sau :

Quy định $1$ : Một đối tượng hình học được gọi là dựng được , nếu nó được dựng chỉ bằng thước kẻ và compa .

Quy định $2$ : Nếu không cho trước bất kì một số phức nào được gọi là dựng được , thì chỉ được coi các số hữu tỷ là các số đã được dựng .

Quy định $3$ : Một số phức được gọi là dựng được thông qua một bước dựng hình , nếu như nó là nghiệm của một đa thức bậc dương không vượt quá $2$ với các hệ số phức được coi là đã dựng được .

Bây giờ bắt đầu từ trường $K$ mà các phần tử của $K$ được coi là đã dựng được và giả sử số phức $\alpha$ dựng được . Khi đó tồn tại hữu hạn bước dựng , lần lượt các nghiệm của các phương trình $x^{2}=a_{1},x^{2}=a_{2},...,x^{2}=a_{d}$ trong đó $a_{1} \in K = K_{0}$ và $K_{1}$ là trường nghiệm của nhị thức $x^{2}-a_{1}$ trên $K_{0}$ , ...$ a_{i} \in K_{i-1}$ và $K_{i}$ là trường nghiệm của nhị thức $x^{2}-a_{i}$ trên $K_{i}$ với $i=1,2,...,d$ và $\alpha \in K_{d}$.

Nhắc lại rằng , nếu trường $E$ là một mở rộng của trường $K$ thì $E$ sẽ là một $K$ - không gian vecto . Kí hiệu chiều của $K$ - không gian vecto này là $[E : K]$ còn gọi là bậc của mở rộng $E$ trên $K$ .

Những điều vừa nhắc ở trên đã cho phép người ta chuyển bài toán " về tính dượng được hay không dựng được " về bài toán ứng dụng của lý thuyết Galois . Rằng từ một trường con $K$ của trường số phức , mà mọi phần tử của $K$ đều là những đại lượng dựng được , hay coi như đã được dựng , thì rõ ràng một số phức $\alpha$ dựng được nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của một phương trình đa thức trên $K$ giải được chỉ với phép khai căn bậc $2$ . Cùng với kết quả : " Mọi nhóm hữu hạn có cấp là một lũy thừa của $2$ đều giải được " , đã đưa đến kết quả sau đây :

Định lý $1$ : Từ các đại lượng phức cho trước $\xi_{1},...,\xi_{n}$ coi như đã dựng được tạo nên một trường $K = Q(\xi_{1},...\xi_{n})$ . Khi đó một số phức $\alpha$ dựng được bằng thước kẻ và compa nếu và chỉ nếu $\alpha \in E$ với $E$ là trường nghiệm của một đa thức nào đó trên $K$ và $[E : K]=2^{r}$ .

Bây giờ từ định lý này , ta rút ra ngay một hệ quả , gọi là định lý Wantzel ( Pierre Laurent Wantzel , 1814 - 1848 ) , mà chính Wantzel đã dùng nó để giải thích nguyên nhân vì sao mà bài toán chia ba một góc và bài toán gấp đôi hình lạp phương , hai trong ba bài toán nổi tiếng nhất trong lịch sử dựng hình , đã không dựng được .

Định lý Wantzel : Nếu số phức $\alpha$ dựng được bằng thước kẻ và compa thì $\alpha$ sẽ là nghiệm của một đa thức bất khả quy trên $Q$ có bậc là một lũy thừa của $2$ .

Sau đây là một vài ứng dụng của định lý Wantzel .

Khẳng định $1$ : Không thể dùng thước kẻ và compa để chia ba một góc tùy ý thành ba phần bằng nhau .

Chứng minh : Ta thấy ngay $cos20$ là nghiệm của đa thức bậc ba bất khả quy trên $Q$ là $4x^{3}-3x-\frac{1}{2}$ . Bởi $3$ không là lũy thừa của $2$ . Nên theo định lý Wantzel thì $cos20$ không dựng được . Như vậy không dựng được góc $20$ , hay không thể chia ba góc $60$ . Do đó không thể dùng thước kẻ và compa để chia một góc tùy ý thành ba phần bằng nhau .

Khẳng định $2$ : Không thể dùng thước và compa để dựng khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của một khối lập phương cho trước .

Chứng minh : Giả sử khối lập phương cho trước có cạnh là đơn vị , khi đó khối lập phương cần dựng có cạnh là $\sqrt[3]{2}$ , và nó cũng là nghiệm của một đa thức bậc ba bất khả quy trên $Q$ là $x^{3}-2$ , nhưng lại do $3$ không là lũy thừa của $2$ nên theo định lý Wantzel thì $\sqrt[3]{2}$ không dựng được .

Các bài toán cầu phương hình tròn thì phải chờ đến năm $1922$ khi mà Lindemann chứng minh một kết quả nối tiếng rằng $\pi$ là số siêu việt thì nó mới được giải quyết .

Khẳng định $3$ : Không thể dùng thước kẻ và compa để dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho .

Chứng minh : Giả sử hình tròn đã cho có bán kính đơn vị . Khi đó diện tích của nó là $\pi$ và nếu hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn thì cạnh của nó phải là $\sqrt{\pi}$ . Nhưng do $\sqrt{\pi}$ là một số siêu việt bởi Lindemann , nên $\sqrt{\pi}$ không dựng được bởi định lý Wantzel . Do đó không thể dùng thước và compa để dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho .

Định lý Gauss : Một đa giác đều $n$ cạnh dựng được bằng thước và compa nếu và chỉ nếu $n=2^{s}p_{1}...p_{k}$ trong đó $s \geq 0$ và $p_{i}$ là các số nguyên tố Fermat đôi một khác nhau .

Chứng minh :

Nhắc lại rằng phi hàm Euler bằng số các số nguyên dương không vượt quá nó và nguyên tố cùng nhau với $n$ ( $\phi(n)$) và đa thức tối thiếu

$$\omega = cos\frac{2\pi}{n}+i.sin\frac{2\pi}{n}$$

chính là đa thức chia đường tròn $\Phi_{n}(x)$ trên $Q$

Hơn nữa $E = Q(\omega)$ cũng là trường nghiệm của $\Phi_{n}(x)$ và

$$[E:Q] = deg \Phi_{n}(x) = \phi(n)$$

Để ý rằng đa giác đều $n$ cạnh dựng được khi và chỉ khi $\omega$ dựng được , bởi vậy theo định lý $1$ thì điều này xảy ra khi và chỉ khi $\phi(n)$ là lùy thừa của $2$ , hay tương đương mọi ước nguyên tố lẻ của $n$ đều là các số nguyên tố Fermat đôi một phân biệt .

Nguồn : Những tư tưởng cơ bản ẩn chứa trong toán học phổ thông - Dương Quốc Việt . 


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 531 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-08-2016 - 12:29

Đáng lẽ không cần cmt về những bài viết thế này nhưng nó đã được post lên diễn đàn và có rất nhiều người đọc nên mình thấy cần có trách nhiệm. Tác giả hiểu rất lệch lạc về cách người ta áp dụng lý thuyết trường vào bài toán dựng hình, còn lý thuyết Galois thì mình chưa thấy ở đâu trong bài viết. Các sách của Milne, Dummit-Foote, Emil Artin (tiên phong cho cách trình bày lý thuyết Galois bằng lý thuyết trường) chưa thấy ai phải áp dụng lý thuyết Galois vào bài toán dựng hình. Thực ra áp dụng lý thuyết Galois vào bài toán dựng hình, ví dụ điển hình nhất chính là áp dụng vào phần đảo của định lý về tính dựng được của n-đa giác đều mà nhờ có định lý 1 của tác giả, không cần áp dụng lý thuyết Galois nữa! 



#3 Thuyeutoan123

Thuyeutoan123

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Mik thích học toán , mik ước mơ trở thành nhà toán học

Đã gửi 27-06-2017 - 16:09

Cũng dc





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: galois

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh