Chủ đề này có 2 trả lời

[ngocminhxd]

cho tam giác ABC nội tiếp (O) trọng tâm G. AG cắt (O) ở F. Gọi M,N là trung điểm AB,AC.

C/m a. $3\vec{AG}\vec{AF}=AB^2+AC^2$

b. A,G,M,N cùng thuộc 1 đường tròn khi và chỉ khi $AB^{2}+AC^{2}=2BC^{2}$

[doremon01]

a) Ta có: $\frac{AB}{CF}=\frac{BI}{IF}=\frac{CI}{IF}=\frac{AC}{BF}\Rightarrow AB.BF=AC.CF$

$3\vec{AG}\vec{AF}=AB^2+AC^2 \Rightarrow 2 \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AF}=AB^2+AC^2 \Rightarrow (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\overrightarrow{AF}=AB^2+AC^2 \Rightarrow (2\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC})\overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB})^2+(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FC})^2\Rightarrow \overrightarrow{AF}(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC})=FB^2+FC^2+2\overrightarrow{AF}(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}) \Leftrightarrow FB^2+FC^2=\overrightarrow{FA}(\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC})\Leftrightarrow \overrightarrow{FB}(\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{FA})=\overrightarrow{FC}(\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{FC})\Leftrightarrow \overrightarrow{FB}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FC}.\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{BF}.\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{CA}\Leftrightarrow BF.BA.\cos\angle ABF=-CF.CA.\cos \angle ACF$ (luôn đúng do $\angle ABF +\angle ACF=180^o$)

b) AMGN nội tiếp $\Leftrightarrow \angle GNM=\angle GAM \Leftrightarrow \angle GBC=\angle IAB \Leftrightarrow \Delta IBG \sim \Delta IAB (g-g) \Leftrightarrow IB^2=IG.IA \Leftrightarrow IB^2=\frac{AI^2}{3}\Leftrightarrow \frac{BC^2}{4}=\frac{1}{3}\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4} \Leftrightarrow AB^{2}+AC^{2}=2BC^{2} $

Hình gửi kèm

• 

[ngocminhxd]

 $\frac{BC^2}{4}=\frac{1}{3}\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$

sao thành thế này được ạ