cho tam giác ABC góc A tù, dựng các tam giác vuông cân tại A là ABM, ACN sao cho các tia AM,AN trong góc A.
C/m a. trung tuyến AI của tam giác AMN vuông góc với BC
b. BN vuông góc MC
cho tam giác ABC góc A tù, dựng các tam giác vuông cân tại A là ABM, ACN sao cho các tia AM,AN trong góc A.
C/m a. trung tuyến AI của tam giác AMN vuông góc với BC
b. BN vuông góc MC
#Bé_Nú_Xđ
a) Ta có: $\angle MAC=\angle NAB=\angle BAC-90^o$
$2.\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{AB}=AM.AC.\cos(\angle MAC)-AB.AN.cos(\angle NAB)=0\Rightarrow AI \perp BC$
b) Ta cos: $\angle MAN+\angle BAC=90^o-\angle MAC+90^o+\angle NAB=180^o \Rightarrow \cos \angle BAC=-\cos \angle MAN$
$-\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{MC}=-(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN})(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC})=-\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=AB.AC.\cos\angle BAC+AM.AN.\cos\angle MAN=AM.AN.\cos\angle BAC+AM.AN.\cos\angle MAN=0 \Rightarrow CM \perp BN$
Mình xin được làm câu a không dùng lượng giác (vì mình chưa học ) cực kì dài:
Kẻ $ME\perp BC$ tại E, $NE\perp BC$ tại F. Gọi D và G lần lượt là giao điểm của BC với AN, AM.
$\widehat{BAN}+\widehat{MAN}=\widehat{CAM}+\widehat{MAN}=90^{\circ}\implies \widehat{BAN}=\widehat{CAM}$
Chứng minh được $\bigtriangleup BAN=\bigtriangleup MAC\ (c.g.c)\implies \left\{\begin{array}{ll}BN=MC\ \color{red}{(1)}\\ \widehat{ABN}=\widehat{AMC}\\ \widehat{ANB}=\widehat{ACM}\end{array}\right.$
Ta có $\widehat{ABG}+\widehat{AGB}=\widehat{EGM}+\widehat{EMG}=90^{\circ}$, mà $\widehat{AGB}=\widehat{EGM}$ (2 góc đối đỉnh) nên $\widehat{ABG}=\widehat{EMG}$
Mặt khác $\widehat{ABG}+\widehat{EBN}=\widehat{EMG}+\widehat{EMC} \ (\widehat{ABN}=\widehat{AMC}) \implies \widehat{EBN}=\widehat{EMC}\ \color{red}{(2)}$
Chứng minh tương tự được $\widehat{ENB}=\widehat{ECM}\ \color{red}{(3)}$
$\color{red}{(1),(2),(3)} \implies \bigtriangleup BEN=\bigtriangleup MEC\implies BE=ME$
Tiếp theo, chứng minh $\bigtriangleup ABF=\bigtriangleup AME\implies AF=AE$, nên tam giác AFE cân tại A.
Đến đây, lấy $AO\perp BC$ tại O thì AO // EN và OI // EN (OI là đường trung bình của hình thang EMNF) nên A, O, I thẳng hàng.
Vậy $AI\perp BC$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh