Chủ đề này có 6 trả lời

[thuydunga9tx]

Giải hệ phương trình

1)$\begin{cases}x+y+xy=5\\y+z+yz=11\\x+z+xz=7 \end{cases}$

2)$\begin{cases}x(y+z)=14\\y(z+x)=18\\z(x+y)=20 \end{cases}$

3)$\begin{cases}x+y+z=9\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\xyz=27 \end{cases}$

 

[thinhnarutop]

3) Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z}=1$

Dấu $=$ xảy ra $<=> x = y = z$

Thế vào pt cuối ta được $x = y = z = 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 03-08-2016 - 11:03

[damte]

1) Đặt $a=x+1; b=y+1;  c=z+1$

Hệ đã cho tương đương với: $ab=6; bc=12; ca=8$

Suy ra $abc=24$ hoặc $abc=-24$

Từ đó có nghiệm $(x;y;z) = (1;2;3)$ hoặc $(-3;-4;-5)$

2) Đặt $xy=a; yz=b; zx=c$

Hệ đã cho tương đương với: $a+c=14; a+b=18; b+c=20$

Suy ra: $a+b+c=26$

Nên $(xy;yz;xz)=(a;b;c)=(6;12;8)$

Hoàn toàn tương tự câu 1, $(x;y;z)=(2;3;4)$

Đính chính: Hoàn toàn tương tự câu 1,$ (x;y;z)=(2;3;4)$ hoặc $(-2;-3;-4)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 03-08-2016 - 11:01

[Hai2003]

Giải hệ phương trình

2)$\begin{cases}x(y+z)=14\\y(z+x)=18\\z(x+y)=20 \end{cases}$

Cộng vế theo vế ta có $xy+yz+xz=26$

Từ đó và GT ta được HPT $\left\{\begin{array}{ll}xy=6\\ yz=12\\ zx=8\end{array}\right.$

Thế $x=\frac{6}{y}$ vào PT (3) ta được hệ mới $\left\{\begin{array}{ll}yz=12\\ \dfrac{3z}{y}=4\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}yz=12\\ z = \dfrac{4}{3}y \end{array}\right.\\ \Rightarrow y^2=9\Rightarrow \left[\begin{array}{ll}y=3\implies z=4\implies x=2 \\ y=-3 \implies z=-4 \implies x=-2 \end{array}\right.$

 

Vậy HPT có 2 nghiệm $(x;y;z)\in \left\{\color{red}{(2;3;4)},\color{blue}{(-2;-3;-4)}\right\}$

P/s

Chậm tay rồi

[thinhnarutop]

Cộng vế theo vế ta có $xy+yz+xz=26$

Từ đó và GT ta được HPT $\left\{\begin{array}{ll}xy=6\\ yz=12\\ zx=8\end{array}\right.$

Thế $x=\frac{6}{y}$ vào PT (3) ta được hệ mới $\left\{\begin{array}{ll}yz=12\\ \dfrac{3z}{y}=4\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll}yz=12\\ z = \dfrac{4}{3}y \end{array}\right.\\ \Rightarrow y^2=9\Rightarrow \left[\begin{array}{ll}y=3\implies z=4\implies x=2 \\ y=-3 \implies z=-4 \implies x=-2 \end{array}\right.$

 

Vậy HPT có 2 nghiệm $(x;y;z)\in \left\{\color{red}{(2;3;4)},\color{blue}{(-2;-3;-4)}\right\}$

P/s

Chậm tay rồi

Theo mình nghĩ từ đây nhân các pt lại ta được $(xyz)^{2}=576\Leftrightarrow xyz=24,xyz=-24$ thì sẽ nhanh hơn     

+) với $xyz=24$, kết hợp pt (1) ta được z = 4, pt (2) được x = 2, pt (3) được y = 3

+) tương tự vơi xyz = -24 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 03-08-2016 - 10:43

[LeBaKhanh]

3) Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{x+y+z}=1$

Dấu $=$ xảy ra $<=> x = y = z$

Thế vào pt cuối ta được $x = y = z = 3$

Bài của bạn ko ổn vì chắc gì $x,y,z$ dương?

[VermouthS]

 

3)$\begin{cases}x+y+z=9\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\xyz=27 \end{cases}$

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}=1\Rightarrow xy+yz+xz=27$

$x+y+z=9\Rightarrow (x+y+z)^{2}=81=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=81-2.27=27$

Vì $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+xz (=27) \Rightarrow 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=0 \Leftrightarrow x=y=z$ 

Kết hợp với xyz=27 ta được (x;y;z)=(3;3;3)