Chủ đề này có 1 trả lời

[Thao Meo]

Cho x , y,z là các số thực dương đôi một khác nhau. Chứng minh :
$[(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3][\frac{1}{(x-y)^3}+\frac{1}{(y-z)^3}+\frac{1}{(z-x)^3}]\leq\frac{-45}{4}$

[doremon01]

Đăt: $ x-y=a; y-z=b; z-x=c \Rightarrow a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$

Trong 3 số x,y,z phải có 1 số nằm giữa 2 số còn lại

Không mất tính tổng quát giả sử $ab=(x-y)(y-z)>0$

BĐT viết lại thành: 

$(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\leq \frac{-45}{4} \Leftrightarrow \frac{\sum a^3b^3}{a^2b^2c^2}\leq \frac{-15}{4}\Leftrightarrow \frac{a^3b^3-(a+b)^3(a^3+b^3)}{a^2b^2(a+b)^2}\leq \frac{-15}{4} \Leftrightarrow \frac{ab}{(a+b)^2}-\frac{(a+b)^2}{ab}.\frac{a^2-ab+b^2}{ab}\leq \frac{-15}{4} \Leftrightarrow \frac{ab}{(a+b)^2}-\frac{(a+b)^2}{ab}.\frac{(a+b)^2-3ab}{ab}\leq \frac{-15}{4}$

Đặt $\frac{(a+b)^2}{ab}=t \geq 4$

BĐT viết lại thành: 

$\frac{1}{t}-t(t-3)\leq \frac{-15}{4}\Leftrightarrow t^3-3t^2-\frac{15}{4}t-1\geq 0 \Leftrightarrow (t-4)(t+\frac{1}{2})^2\geq 0$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b \Leftrightarrow x+z=2y$