Chủ đề này có 3 trả lời

[Thao Meo]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^2+2}+\frac{b}{b^2+2}+\frac{c}{c^2+2}\leq 1$

[Ngockhanh99k48]

Xử lí nhẹ $a^2+2 \geq 2a+1$. Do đó ta cần chứng minh $\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1} \leq 1$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1} \geq 1$.
Giả thiết $abc=1$ nên tồn tại $x, y, z >0$ thỏa $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$. Từ đó, sử dụng Cauchy-schwarz ta có $\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}=\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x} \geq \frac{(x+y+z)^2}{y(2x+y)+z(2y+z)+x(2z+x)}=1$.

[iloveyouproht]

Ta phải cm : $\sum \frac{a}{a^{2}+2} \leq \sum \frac{a}{2a+1}\leq 2 <=> \sum \frac{1}{2a+1}\geq 1$

Áp dụng BĐT caychy ta có : $\sum \frac{1}{2a+1} + \sum \frac{2a+1}{9} \geq 2$

$<=> \sum \frac{1}{2a+1}\geq 1(đpcm)$

p/s : Muộn r :'(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 03-08-2016 - 23:53

[KietLW9]

Áp dụng Cô-si, ta có $P\leqslant \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}$

Ta có: $1- (\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1})=\frac{a+b+c+1-4abc}{(2a+1)(2b+1)(2c+1)}\geqslant 0\Rightarrow 1\geqslant \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}$ (Do $a+b+c+1-4abc=a+b+c-3\geqslant 3\sqrt[3]{abc}-3=0$)

Vậy $P\leqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$