Đến nội dung

Hình ảnh

$x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{10}{3}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Black Pearl

Black Pearl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết

1.Cho $x,y,z\geq 0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=1$ 

CMR: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{10}{3}$

2.Cho $x,y,z>0$ CMR: $4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

3.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ CMR: $A=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}-\frac{1}{4abc}\leq -6$

4.Cho  $a,b>0$ và $a+b\leq 1$

CMR $A=\frac{a^4}{(b-1)^3}+\frac{b^4}{(a-1)^3}\geq -1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Black Pearl: 04-08-2016 - 12:52

-Huyensonenguyen-


#2
Math Master

Math Master

    Blue Sky

  • Thành viên
  • 245 Bài viết

1.Cho $x,y,z\geq 0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=1$ 

CMR: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{10}{3}$

2.Cho $x,y,z>0$ CMR: $4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

3.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ CMR: $A=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}-\frac{1}{4abc}\leq -6$

4.Cho  $a,b>0$ và $a+b\leq 1$

CMR $A=\frac{a^4}{(b-1)^3}+\frac{b^4}{(a-1)^3}\geq -1$

Chém dễ trước =))

1)

Áp dụng Cauchy-Schwartz cho giả thiết $=> 1 \geq \frac{9}{x+y+z+6} => x+y+z \geq 3$

Đặt $P = x+y+z + \frac{1}{x+y+z} = \frac{x+y+z}{9} + \frac{1}{x+y+z} + \frac{8(x+y+z)}{9}$

$\geq \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3} => (Q.E.D)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 04-08-2016 - 15:22

~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~

Imagination is more important than knowledge.

-Einstein-


#3
Math Master

Math Master

    Blue Sky

  • Thành viên
  • 245 Bài viết

Bài 4 Từ giả thiết $=> b \leq 1-a$

$=> \frac{a^4}{(b-1)^3} \geq \frac{a^4}{-a^3} = -a$

Tương tự $\frac{b^4}{(a-1)^3} \geq -b$

$=> A \geq -(a+b) \geq -1$


~Trí tưởng tượng quan trọng hơn kiến thức.~

Imagination is more important than knowledge.

-Einstein-


#4
doremon01

doremon01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

3.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ CMR: $A=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}-\frac{1}{4abc}\leq -6$

$3-A=3-[\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}-\frac{1}{4abc}]$

$3-A=\sum \frac{c}{c+ab}+\frac{1}{4abc} \geq \sum \frac{c}{c+\frac{(a+b)^2}{4}}+\frac{1}{4abc}=\sum \frac{4c}{(c+1)^2}+\frac{1}{4abc}= \frac{4a}{(a+1)^2}+\frac{4b}{(b+1)^2}+\frac{4c}{(c+1)^2}+\frac{1}{36abc}+\frac{2}{9abc}\geq 4\sqrt[4]{\frac{4a}{(a+1)^2}.\frac{4b}{(b+1)^2}.\frac{4c}{(c+1)^2}.\frac{1}{36abc}}+\frac{2}{9\frac{(a+b+c)^3}{27}}=4\sqrt[4]{\frac{16}{9(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}}+6\geq 4.\sqrt[4]{\frac{16}{9.\left (\frac{(a+1+b+1+c+1)^3}{27} \right )^2}}+6=9$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 04-08-2016 - 18:00


#5
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Bài 3.Cách khác:

Đặt p=a+b+c q=ab+bc+ac r=abc Ta có:

$\frac{ab}{(c+a)(a+b)}+\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ac}{(b+a)(b+c)}=\frac{ab}{(1-a)(1-b)}+\frac{bc}{(1-b)(1-c)}+\frac{ac}{(1-a)(1-c)}=\frac{ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)}=\frac{ab+bc+ac-3abc}{1-a-b-c+ab+bc+ac-abc}=\frac{ab+bc+ac-3abc}{ab+bc+ac-abc}=\frac{q-3r}{q-r}$

=>A=$\frac{q-3r}{q-r}-\frac{1}{4r}\leq -6$

=>$\frac{-2r}{q-r}-\frac{1}{4r}\leq -7$

<=>$\frac{2r}{q-r}+\frac{1}{4r}\geq 7$

mà $q\leq \frac{p^2}{3}=\frac{1}{3}$

Ta sẽ chứng minh:$\frac{2r}{\frac{1}{3}-r}+\frac{1}{4r}\geq 7$

Bất đẳng thức này luôn đúng theo chứng minh tương đương



#6
Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
Bài 2: Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có:
$\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}.\sqrt{x+y} \geq \(x+y)\sqrt{(x+z)(y+z)} \geq (x+y)(\sqrt{xy}+z) = z(x+y) +(x+y)\sqrt{xy} \geq z(x+y)+2xy$. Lập tương tự các công thức ta có đpcm.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh