Tìm số $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho $\frac{9^{n}-1^{n}}{4}$ chia hết cho $2^{2014}$
Tìm số $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho $\frac{9^{n}-1^{n}}{4}$ chia hết cho $2^{2014}$
#1
Đã gửi 04-08-2016 - 17:05
#2
Đã gửi 04-08-2016 - 17:42
Tìm số $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho $\frac{9^{n}-1^{n}}{4}$ chia hết cho $2^{2014}$
$2^{2014}\mid \frac{9^n-1^n}{4}\iff 2^{2016}\mid 9^n-1^n$
Áp dụng bổ đề LTE, ta có: $v_2(9^n-1^n)=v_2(8)+v_2(n)=3+v_2(n)$
$2^{2016}\mid 9^n-1^n\iff v_2(9^n-1^n)\geqslant v_2(2^{2016})=2016$
$\iff 3+v_2(n)\geqslant 2016\iff n\geqslant 2^{2013}$
Vậy $n_{min}= 2^{2013}$
- L Lawliet và lenhatsinh3 thích
#3
Đã gửi 04-08-2016 - 17:44
Tìm số $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho $\frac{9^{n}-1^{n}}{4}$ chia hết cho $2^{2014}$
Áp dụng định lý LTE, ta được
$v_2(\frac{9^n-1^n}{4} ) = v_2(9^n -1^n ) - v_2(4) = v_2(8) + v_2(n)- v_2(4) = v_2(n) +1$
Để chia hết thì $v_2(n)+1 \geq 2014 => n \geq 2^{2013} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 04-08-2016 - 17:45
- L Lawliet, lenhatsinh3 và TY123AK thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh