Chủ đề này có 2 trả lời

[lenhatsinh3]

Tìm số $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho $\frac{9^{n}-1^{n}}{4}$ chia hết cho $2^{2014}$

[Minhnguyenthe333]

Tìm số $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho $\frac{9^{n}-1^{n}}{4}$ chia hết cho $2^{2014}$

$2^{2014}\mid \frac{9^n-1^n}{4}\iff 2^{2016}\mid 9^n-1^n$

Áp dụng bổ đề LTE, ta có: $v_2(9^n-1^n)=v_2(8)+v_2(n)=3+v_2(n)$

$2^{2016}\mid 9^n-1^n\iff v_2(9^n-1^n)\geqslant v_2(2^{2016})=2016$

$\iff 3+v_2(n)\geqslant 2016\iff n\geqslant 2^{2013}$

Vậy $n_{min}= 2^{2013}$

[superpower]

Tìm số $n\in \mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất sao cho $\frac{9^{n}-1^{n}}{4}$ chia hết cho $2^{2014}$

Áp dụng định lý LTE, ta được

$v_2(\frac{9^n-1^n}{4} ) = v_2(9^n -1^n ) - v_2(4) = v_2(8) + v_2(n)- v_2(4) = v_2(n) +1$

Để chia hết thì $v_2(n)+1 \geq 2014 => n \geq 2^{2013} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 04-08-2016 - 17:45