(AoPS) Cho $a,b,m,n \in \mathbb{Z^+}$ và $n>1$ thỏa mãn $a^n+b^n=2^m$. Chứng minh rằng $a=b$
#2
Đã gửi 07-08-2016 - 09:51
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Đặt $gcd(a,b)=d$, $a=dx, b=dy$ thì $d^n(x^n+y^n)=2^m$ nên ta phải có $d$ là lũy thừa của $2$. Sau khi rút gọn ta đưa được phương trình đã cho về dạng:(AoPS) Cho $a,b,m,n \in \mathbb{Z^+}$ và $n>1$ thỏa mãn $a^n+b^n=2^m$. Chứng minh rằng $a=b$
$$x^n+y^n=2^k$$
với $x, y$ lẻ. Không mất tổng quát giả sử $x\geq y$.
Nếu $n$ chẵn, thì $x^n+y^n\equiv 2$ $(mod 4)$ nên $k=1$. Suy ra $x=y=1$ nên $a=b$.
Nếu $n$ lẻ thì ta có:
$$(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+...+y^{n-1})=2^k$$
Nếu $x+y=2$ thì ta cũng có $x=y=1$. Nếu $x+y> 2$ thì $4| x+y$. Do đó áp dụng bổ đề LTE, ta có:
$$v_{2}(x^n+y^n)=v_{2}(x+y)+v_{2}(n)=v_{2}(x+y)$$
Do đó ta suy ra ngay $x+y=x^n+y^n$, tức là $x=y=1$. Tóm lại trong mọi trường hợp ta luôn có $a=b$ (đpcm).
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
