Chủ đề này có 4 trả lời

[sharker]

cho a,b,c là các số thực dương

CMR: 

1:$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

2:$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

3:$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^2}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

[NTA1907]

cho a,b,c là các số thực dương

CMR: 

1:$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$(a+b+c+1)^{2}=(a.1+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}(b+c)+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2})^{2}\leq (a^{2}+1)\left [ 3+2(b+c)^{2} \right ]$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{5}{16}\left [ 3+2(b+c)^{2} \right ]\leq (b^{2}+1)(c^{2}+1)$

$\Leftrightarrow 16b^{2}c^{2}+6(b^{2}+c^{2})+1\geq 20bc$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM. Ta có đpcm.

[phamhuy1801]

cho a,b,c là các số thực dương

CMR: 

2:$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$

 

2, $(a+b+c; ab+bc+ca; abc) \rightarrow (p;q;r) $

$BDT \Leftrightarrow 2(1+r)+\sqrt{2(r^2+q^2-2pr+p^2-2q+1)} \ge r+q+p+1 $

$\Leftrightarrow \sqrt{2[(p-r)^2+(q-1)^2]} \ge p+q-r-1 $

$\Leftrightarrow (p-r-q+1)^2 \ge 0 $

BĐT cuối luôn đúng, suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 05-08-2016 - 22:16

[TY123AK]

choa,b,c là các số thực.cm(a²+1)(b²+1)(c²+1) lớn hơn hoặc bằng3(a+b+c)²/4

[superpower]

cho a,b,c là các số thực dương

 

3:$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^2}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Ta có $(a+b^2+c^2)(a+1+1) \geq (a+b+c)^2$

Do đó áp dụng bđt C-S, ta cần chứng minh

$\sum \frac{\sum (a+b+1)(a+1+1)}{(a+b+c)^2} \leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1) + 1}{a+b+c} $

Quy đồng và khai triển, ta thấy điều hiển nhiên