Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của biểu thức: $P= \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3b}{b+c}+\frac{4b}{c+a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
thinhtrantoan

thinhtrantoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3b}{b+c}+\frac{4b}{c+a}$


"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"

https://www.facebook...htrantoan952002


#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Đề đúng hình như là: $P= \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}$.

Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3b}{b+c}+\frac{4b}{c+a}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 06-08-2016 - 08:07

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
Ngockhanh99k48

Ngockhanh99k48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết

Đề đúng hình như là: $P= \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}$.

Đặt $a+b=z, b+c=x, c+a=y$ với $x, y,z >0$. Khi đó $a=\frac{y+z-x}{2}, b=\frac{x+z-y}{2}, c=\frac{x+y-z}{2}$.
Thay vào biểu thức ta có:
$P=\frac{x+2y-z}{z}+\frac{z+2y-x}{x}+\frac{2x+2z-2y}{y} =(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})+2y(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})+ \frac{2(x+z)}{y} -4$.
Sử dụng AM-GM ta có:
$P \geq 2 + \frac{8y}{x+z}+ \frac{2(x+z)}{y} -4 \geq 2+8-4 =6$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$ $\Leftrightarrow$ $a=b=c$.

#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Đề đúng hình như là: $P= \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}$.

 

Ta có

\[ \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}-6={\frac {2\left( a-b \right) ^{2}}{ \left( c+a \right)  \left( b+c\right) }}+{\frac{2\left( b-c \right) ^{2}}{ \left( c+a \right) \left( a+b \right) }}+{\frac { \left( c-a \right) ^{2}}{ \left( a+b\right)  \left( b+c \right)}} \geqslant 0.\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 06-08-2016 - 13:20

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh