Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn hệ thức:
$f(\frac{f(n)}{n})=n^2$
với mọi số nguyên dương $n$.
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn hệ thức:
$f(\frac{f(n)}{n})=n^2$
với mọi số nguyên dương $n$.
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Hình như bạn chưa hiểu thế nào là hàm số và đa thức .
Mình chưa học về hàm số rõ nên cũng không chắc là phân biệt được nữa.
Mình chưa học về hàm số rõ nên cũng không chắc là phân biệt được nữa.
Nên học kĩ trước khi giải bài , tráng trường hợp không chắc
Đây là lời giải :
Dễ thấy do $f : N^{*} \to N^{*}$ nên $n|f(n)$ với mọi $n$ , từ đó $f(\frac{f(n)}{n})=n^{2}$ là bội của $\frac{f(n)}{n}$ hay $f(n)|n^{3}$ , từ hai điều này suy ra $f(1)=1$ . Giờ giả sử tồn tại $f(n)=n$ thì $f(1)=n^{2}=1$ hay $n=1$ , giả sử tồn tại $f(n)=n^{3}$ thế thì $f(n^{2})=n^{2}$ hay $n=1$ . Như vậy không tồn tại $f(n)=n,n^{3}$ . Từ nhận xét này ta suy ra $f(p)=p^{2}$ . Tính toán vài giá trị đầu tiên cho ta ngay cách định hình bài toán ( các bạn tính thử sẽ rõ ) .
Quy nạp : Với $n=1,2,3$ khẳng định đúng ,giả sử đúng đến mọi $k \leq n$ thì $f(k) = k^{2}$ , ta sẽ chứng minh rằng : $f(n+1)=(n+1)^{2}$
Xét các số sau :
$$1 < a_{1} < a_{2} < .... a_{i}=n+1 < a_{i+1}< ... a_{l}<(n+1)^{2}$$
Là tất cả các ước khác $1$ và $(n+1)^{2}$ của $(n+1)^{2}$ . Bây giờ nếu tồn tại $1 \leq t < i$ mà $\frac{f(n+1)}{n+1}=a_{t}$ , theo giả thiết quy nạp thì :
$$f(\frac{f(n+1)}{n+1})=(n+1)^{2}=f(a_{t})=a_{t}^{2}<(n+1)^{2}$$
Nếu tồn tại $t$ mà $i+1 \leq t \leq l$ mà $\frac{f(n+1)}{n+1}=a_{t}$ thế thì
$$f(\frac{f(\frac{f(n+1)}{n+1})}{a_{t}})=f(\frac{f(a_{t})}{a_{t}})$$
Nhưng lại thấy $f(\frac{f(n+1)}{n+1})=(n+1)^{2}$ và $a_{t}>n+1$ nên $\frac{(n+1)^{2}}{a_{t}} \leq n$ , từ đây suy ra vô lý , theo nguyên lý quy nạp $f(n)=n^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-08-2016 - 12:56
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh