Chủ đề này có 4 trả lời

[the unknown]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa mãn hệ thức:

$f(\frac{f(n)}{n})=n^2$

với mọi số nguyên dương $n$.

[HoaiBao]

Không chắc như thế này có đúng ko. Mà do không có máy tính nên gửi hình nhé.

Hình gửi kèm

• 

[bangbang1412]

Hình như bạn chưa hiểu thế nào là hàm số và đa thức .

[HoaiBao]

Hình như bạn chưa hiểu thế nào là hàm số và đa thức .

Mình chưa học về hàm số rõ nên cũng không chắc là phân biệt được nữa.

[bangbang1412]

Mình chưa học về hàm số rõ nên cũng không chắc là phân biệt được nữa.

Nên học kĩ trước khi giải bài , tráng trường hợp không chắc 

Đây là lời giải : 

Dễ thấy do $f : N^{*} \to N^{*}$ nên $n|f(n)$ với mọi $n$ , từ đó $f(\frac{f(n)}{n})=n^{2}$ là bội của $\frac{f(n)}{n}$ hay $f(n)|n^{3}$ , từ hai điều này suy ra $f(1)=1$ . Giờ giả sử tồn tại $f(n)=n$ thì $f(1)=n^{2}=1$ hay $n=1$ , giả sử tồn tại $f(n)=n^{3}$ thế thì $f(n^{2})=n^{2}$ hay $n=1$ . Như vậy không tồn tại $f(n)=n,n^{3}$ . Từ nhận xét này ta suy ra $f(p)=p^{2}$ . Tính toán vài giá trị đầu tiên cho ta ngay cách định hình bài toán ( các bạn tính thử sẽ rõ ) .

Quy nạp  : Với $n=1,2,3$ khẳng định đúng ,giả sử đúng đến mọi $k \leq n$ thì $f(k) = k^{2}$ , ta sẽ chứng minh rằng : $f(n+1)=(n+1)^{2}$ 

Xét các số sau :

$$1 < a_{1} < a_{2} < .... a_{i}=n+1 < a_{i+1}< ... a_{l}<(n+1)^{2}$$

Là tất cả các ước khác $1$ và $(n+1)^{2}$ của $(n+1)^{2}$ . Bây giờ nếu tồn tại $1 \leq t < i$ mà $\frac{f(n+1)}{n+1}=a_{t}$ , theo giả thiết quy nạp thì :

$$f(\frac{f(n+1)}{n+1})=(n+1)^{2}=f(a_{t})=a_{t}^{2}<(n+1)^{2}$$ 

Nếu tồn tại $t$ mà $i+1 \leq t \leq l$ mà $\frac{f(n+1)}{n+1}=a_{t}$ thế thì 

$$f(\frac{f(\frac{f(n+1)}{n+1})}{a_{t}})=f(\frac{f(a_{t})}{a_{t}})$$

Nhưng lại thấy $f(\frac{f(n+1)}{n+1})=(n+1)^{2}$ và $a_{t}>n+1$ nên $\frac{(n+1)^{2}}{a_{t}} \leq n$ , từ đây suy ra vô lý , theo nguyên lý quy nạp $f(n)=n^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-08-2016 - 12:56