Chủ đề này có 6 trả lời

[Gokai Silver]

1.tìm GTLN của B= ($(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$ với a+b+c+d=1 và a,b,c,d>0

 

2.tìm GTNN của A= 3^x+3^y  với x+y=4

 

3.tìn GTNN của A=x²(2-x) biết x =<4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gokai Silver: 07-08-2016 - 10:06

[iloveyouproht]

1.tìm GTLN của B= ($(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$ với a+b+c+d=1 và a,b,c,d>0

 

 

B xem lại đề dùm mình được không ? Hình như đúng phải là : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}$

Ta có : $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}=(a+b-2\sqrt{ab})^{2}=(a+b)^{2} -4(a+b)\sqrt{ab} + 4ab \leq (a+b)^{2} - 4ab = a^{2}+b^{2}-2ab$

Tương Tự ta được : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4} \leq 3(a+b+c+d)^{2}-8(ab+ac+ad+bd+bc+cd)\leq 3(a+b+c+d)^{2}=3$

Vậy max B =3 

Dấu = xảy ra khi (a;b;c;d)=(1;0;0;0) và các hoán vị

[HoangKhanh2002]

2/ 

Tìm GTNN của A= 3^x+3^y  với x+y=4

Giải

Bài này khá dễ : Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$A=3^{x}+3^{y}\geq 2\sqrt{3^{x}.3^{y}}=2\sqrt{3^{x+y}}=2\sqrt{3^{4}}=18$

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=2

3.Tìm GTNN của A=x²(2-x) biết x$\leq$4

Giải

Ta có: 

+ Nếu x < 2 => A$\geq$0

+ Nếu $2\leq x\leq 4$ thì -A= $x^{2}(x-2))$. Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$\frac{-A}{4}=\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.(x-2)$($\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+x-2}{3})^{3}=(\frac{2x-2}{3})^{3}\leq 8(x\leq 4) \Rightarrow -A\leq 32\Rightarrow A\geq -32$

Dấu"=' xảy ra <=> x=4

Vậy A_min=-32 tại x=4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 08-08-2016 - 09:22

[Gokai Silver]

 

3.Tìm GTNN của A=x²(2-x) biết x$\leq$4

Giải

Ta có: 

+ Nếu x < 2 => A$\geq$0

+ Nếu $2\leq x\leq 4$ thì -A= $x^{2}(x-2))$. Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$\frac{-A}{4}=\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.(x-2)$($\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+x-2}{3})^{3}=(\frac{2x-2}{3})^{3}\leq 8(x\leq 4) \Rightarrow -A\leq 32\Rightarrow A\geq -32$

Dấu"=' xảy ra <=> x=4

Vậy A_min=-32 tại x=4

bạn có thể giải thích rõ ràng hơn được không

[Math Master]

1.tìm GTLN của B= ($(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{c})^{4} +(\sqrt{a}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{d})^{4}+(\sqrt{b}+\sqrt{c})^{4}+(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{4}$ với a+b+c+d=1 và a,b,c,d>0

 

2.tìm GTNN của A= 3^x+3^y  với x+y=4

 

3.tìn GTNN của A=x²(2-x) biết x =<4

Bài $3$

$-A = x^2(x-2) $

Ta sẽ tìm max $-A$

$-2A = x.x(2x-4) \leq \frac{(4x-4)^3}{27} \leq \frac{12^3}{27} => A \geq \frac{-12^3}{54} = -32$

Dấu "=" xảy ra khi $x = 4$

[Gokai Silver]

B xem lại đề dùm mình được không ? Hình như đúng phải là : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}$

Ta có : $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4}=(a+b-2\sqrt{ab})^{2}=(a+b)^{2} -4(a+b)\sqrt{ab} + 4ab \leq (a+b)^{2} - 4ab = a^{2}+b^{2}-2ab$

Tương Tự ta được : $\sum (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{4} \leq 3(a+b+c+d)^{2}-8(ab+ac+ad+bd+bc+cd)\leq 3(a+b+c+d)^{2}=3$

Vậy max B =3 

Dấu = xảy ra khi (a;b;c;d)=(1;0;0;0) và các hoán vị

đề của mình không sai đâu bạn

[HoangKhanh2002]

Vì ở hai khoảng giá trị của biến thì giá trị của A sẽ khác nhau. Mà đề cho x ≤ 4 nên ta có 2 khoảng giá trị:

+ Nếu x < 2 => A≥0

+ Nếu 2 ≤x ≤4 thì -A= x²(x−2)

Ta xét hai khoảng để đưa về biểu thức không âm bằng cách đổi dấu A vì  2 ≤ x nên A ≤ 0. Mục đích là để áp dụng BĐT Cauchy.

Nhưng để có dấu "=" xảy ra tương ứng thì ta phải tách A= $\frac{x}{2}, \frac{x}{2}, x-2$ để sử dụng BĐT Cauchy ba biến.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 08-08-2016 - 19:13