Giúp em nốt bài này nhé! Cho a,b,c>0,abc=1,tìm max của \sum \frac{a}{a+b^2+c^2}
Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a}{a+b^2+c^2}\leq 1\Leftrightarrow P=\sum \frac{b^2+c^2}{a+b^2+c^2}\geq 2$
Chú ý theo BĐT Cauchy - Schwarz thì: $b^2+c^2\geq \frac{(b+c)^2}{2}$ nên $P=\sum \frac{b^2+c^2}{a+b^2+c^2}\geq \sum \frac{\frac{(b+c)^2}{2}}{a+\frac{(b+c)^2}{2}}=\sum \frac{(b+c)^2}{2a+(b+c)^2}\geq \frac{4(a+b+c)^2)}{2\sum a+\sum (b+c)^2}=A$
Ta sẽ chứng minh $A\geq 2$ hay $2(a+b+c)^2\geq 2\sum a+\sum (b+c)^2\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq a+b+c\Leftrightarrow f(a,b,c)=ab+bc+ca-a-b-c\geq 0$
Xét $d=f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(a-1)$
Không mất tổng quát giả sử $a=max(a,b,c)$ khi đó $a\geq 1$ suy ra $d\geq 0$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)=t^2+2at-a-2t\geq 0$ với $t=\sqrt{bc}$ từ điều kiện $at^2=1\Rightarrow a=\frac{1}{t^2}$ thế vào rút gọn ta được $f(a,t,t)=\frac{(t-1)^2(t+1)}{t^2}\geq 0$ với mọi $t> 0$
Bắt đẳng thức được chứng minh
Vậy $MaxP=1$ tại $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrS: 02-09-2016 - 23:16