Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 215 trả lời

#201 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 15-10-2016 - 18:11

Tiếp theo: 

Bài 97: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\ge 1$.

Bài 98: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=(\frac{a}{b}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab})(\frac{b}{c}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc})(\frac{c}{a}-\frac{1}{a}+\frac{1}{ca})$


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#202 MrS

MrS

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ

Đã gửi 16-10-2016 - 01:04

Tiếp theo: 

Bài 97: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\ge 1$.

Bài 97:

Sử dụng Cauchy - Schwarz: $(y+\sqrt{zx}+z)^2\leq (y+z+z)(y+x+z)=(x+y+z)(y+2z)$

Từ đó ta chỉ cần chứng minh: $P=\sum \frac{2x^2+xy}{y+2z}\geq x+y+z$

Theo Cauchy - Schwarz: $P\geq \frac{(2\sum x^2+\sum xy)^2}{\sum (y+2z)(2x^2+xy)}=\frac{(2\sum x^2+\sum xy)^2}{2(xy+yz+zx)(x+y+z)+3(xy^2+yz^2+zx^2+xyz)-3xyz}=M$

Áp dụng bổ đề quen thuộc: $xy^2+yz^2+zx^2+xyz\leq \frac{4(x+y+z)^3}{27}$

Suy ra: $M\geq \frac{(2\sum x^2+\sum xy)^2}{2(xy+yz+zx)(x+y+z)+\frac{4(x+y+z)^3}{9}-3xyz}$

Đưa về dạng $p, q, r$ và chuẩn hóa $p=1$

Ta đi chứng minh: $\frac{(2-3q)^2}{2q+\frac{4}{9}-3r}\geq 1\Leftrightarrow 81q^2-126q+32+27r\geq 0$ (*)

Theo BĐT Schur thì: $r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-1}{9}$

Nên $VT(*)\geq (1-3q)(29-27q)\geq 0$ hiển nhiên đúng do $0< q\leq \frac{1}{3}< \frac{29}{27}$

Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi  $x=y=z$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrS: 16-10-2016 - 03:57


#203 MrS

MrS

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ

Đã gửi 16-10-2016 - 03:31

Tiếp theo: 

Bài 98: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=(\frac{a}{b}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab})(\frac{b}{c}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc})(\frac{c}{a}-\frac{1}{a}+\frac{1}{ca})$

 

Bài 98: Đổi: $(\frac{1}{a}-1,\frac{1}{b}-1,\frac{1}{c}-1)\rightarrow (x,y,z)$

Khi đó $P=(x^2+x+1)(y^2+y+1)(z^2+z+1)$ với $x+y+z=0$

Thế $z=-x-y$ vào P ta sẽ CM: $(x^2+x+1)(y^2+y+1)((x+y)^2-x-y+1)-1\geq 0$ (*)

Đặt $x+y=S; xy =P$ BĐT trên trở thành: $f(P)=(S^2-S+1)P^2+(S-1)(S^2-S+1)P+S^4+S^2\geq 0$

Không mất tổng quá, giả sử $P=xy\geq 0$ lại có $z>-1\Rightarrow S=x+y=-z<1$ và $S^2\geq 4P$

Ta có: $f"(P)=2(S^2-S+1)>0\Rightarrow f'(P)\geq f'(0)=(S-1)(S^2-S+1)<0\Rightarrow f(P)\geq f(\frac{S^2}{4})=\frac{S^2}{16}((S^2+\frac{3S}{2})^2+4(S+1)^2+\frac{11S^2}{4}+8)\geq 0$

(*) được CM. Vậy $MinP=1$ tại $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrS: 16-10-2016 - 03:32


#204 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 16-10-2016 - 23:11

Bài 97 và bài 98: MrS đã cho lời giải đúng.

Tiếp theo: 

Bài 99: Xét các đa thức: $P(x)=x^3-6x^2+mx-n$ với $m,n\in \mathbb{R}$ có $3$ nghiệm thuộc đoạn: $[1;3]$. Tìm đa thức sao cho $m$ đạt GTNN.

Bài 100: Cho $x,y,z$ là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng $3$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{3}{xy+yz+zx}$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#205 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 17-10-2016 - 15:46

Lời giải bài 99 và bài 100:

Lời giải bài 99: 

Gọi $3$ nghiệm của $P(x)$ là $x_1,x_2,x_3\in[1;3]$. Theo định lí Viet ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+x_3=6 \\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m  \end{matrix}\right.$.

Sử dụng bổ để quen thuộc: 

Bổ đề: Cho $a,b,c\in [0,2]$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Khi đó: $ab+bc+ca\ge 2$. Dấu $=$ xảy ra tại: $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.

Trở lại bài toán: Áp dụng bổ đề với ba số: $x_1-1,x_2-1,x_3-1\in [0;2]$ ta được:

$(x_1-1)(x_2-1)+(x_2-1)(x_3-1)+(x_3-1)(x_1-1)\ge 2\implies x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\ge 2(x_1+x_2+x_3)-1\implies m\ge 11$.

Dấu $=$ xảy ra khi: $(x_1,x_2,x_3)=(1;2;3)$ và các hoán vị.

Với $m=11$. Khi đó: $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6$.

Lời giải bài 100: Áp dụng kết quả của bài TST 2006.( Các bạn có thể xem tại đây:http://diendantoanho...nam-tst-2006/).

Đó là: $6(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\le (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$.

Do đó: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\le \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$.

Dễ chứng minh được: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\le \frac{5}{2}$.

(Phần chứng minh dành cho bạn đọc).

Từ hai kết quả trên ta có:

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{2}{3}\sum \frac{x}{y+z}+\frac{1}{3}\sum \frac{x}{y+z}\le \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{x})+\frac{1}{3}(\frac{5}{2}-\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2})=\frac{5}{6}+\frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{xy+yz+zx}{3(x^2+y^2+z^2)}$.

Vậy chỉ cần chứng minh bước cuối cùng là BDT sau: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\ge \frac{4}{3}$.

(Phần CM dành cho bạn đọc).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 17-10-2016 - 15:50

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#206 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 17-10-2016 - 15:49

Tiếp theo:

Bài 101: Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn: $x^3+y^3=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\frac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}$.

Bài 102: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-b}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-c}}\ge 3$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#207 loolo

loolo

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Hưng Đạo

Đã gửi 17-10-2016 - 16:31

Lời giải bài 102:

Bổ đề quen thuộc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác:

                                   $(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\leq abc$

Áp dụng bổ đề ta được: $\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{abc}}=3$ (đpcm)

Dấu " = " tại a=b=c.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 17-10-2016 - 16:34

 


#208 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 18-10-2016 - 21:52

Dưới đây là lời giải bài 101 và cách khác bài 102:

Lời giải bài 101:

Đặt: $(s;p)\to (x+y;xy)$.

Ta có: $x^3+y^3=1\iff s^3-3ps=1\implies p=\frac{s^3-1}{3s}\to s>1$.

Mặt khác: $(x+y)^3\le 4(x^3+y^3)=4\to s\le \sqrt[3]{4}$.

Ta có: $A=\frac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}=\frac{s^2-2p}{p+1-s}=\frac{s^3+2}{(s-1)^3}$.

Xét hàm số: $f(s)=\frac{s^3+2}{(s-1)^3}\forall s\in (1;\sqrt[3]{4}]$. Ta có: $f'(s)=\frac{-3(s^2+2)}{(s-1)^4}<0$ nên hàm $f(s)$ nghịch biến trên $(1;\sqrt[3]{4}]$.

Suy ra: $f(s)\ge f(\sqrt[3]{4})=\frac{6}{(\sqrt[3]{4}-1)^3}$.

Vậy GTNN của $A$ là: $\frac{6}{(\sqrt[3]{4}-1)^3}$, đạt được khi $x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

Lời giải bài 102:

Áp dụng $AM-GM$ ta có: $2\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}\le \frac{b+c-a}{a}+1=\frac{b+c}{a}\implies \sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\ge 2\sum \frac{a}{b+c}\ge 3(\text{ Nesbit})\implies Q.E.D$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 19-10-2016 - 15:52

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#209 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 18-10-2016 - 21:56

Tiếp theo:

Bài 103: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$. Tìm GTNN của biểu thức:

$Q=a+b+c+48(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}})$.

Bài 104: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện sau:

$a^2b^2c^2+(1+a)(1+b)(1+c)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3$.

Tìm GTNN của $S=\sum \frac{a^3}{(b+2c)(2c+3a)}$


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#210 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 19-10-2016 - 19:44

Dưới đây là lời giải bài 103 và bài 104:

Lời giải bài 103:

Ta có: $5(a+b+c)=(a+b)^2+c^2\le \frac{1}{2}(a+b+c)^2\implies 0<a+b+c\le 10$.

Ta có: $2\sqrt{\frac{a+10}{3}}\le \frac{1}{6}(a+22);3\sqrt[3]{b+c}\le \frac{1}{4}(c+b+16)$.

$Q=a+b+c+48(\frac{1}{\sqrt{\frac{a+10}{3}}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}})\ge a+b+c+48(\frac{12}{a+22}+\frac{12}{b+c+16})$

$\ge a+b+c+576(\frac{4}{a+b+c+38})=a+b+c+\frac{2304}{a+b+c+38}$.

Đặt $f(t)=t+\frac{2304}{t+38},\forall t\in (0;10]$.

Khảo sát $f(t)\implies f(t)\ge f(10)=58$.

Suy ra $Q_{min}=58$. Khi $(a;b;c)=(2;3;5)$.

Lời giải bài 104:

Từ giả thiết: $a^2b^2c^2+(1+a)(1+b)(1+c)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\iff (abc)^2+abc-2\ge 0\iff abc\ge 1$.

Áp dụng $AM-GM$, ta có:

$\frac{a^3}{(b+2c)(2c+3a)}+\frac{b+2c}{45}+\frac{2c+3a}{75}\ge \frac{a}{5}$.

Tương tự: $S+\frac{2(a+b+c)}{15}\ge \frac{a+b+c}{5}\implies S\ge \frac{1}{15}(a+b+c)\ge \frac{1}{4}$.

Vậy $S_{min}=\frac{1}{5}$. Dấu $=$ xảy ra tại: $a=b=c=1$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#211 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 19-10-2016 - 19:46

Tiếp theo:

Bài 105: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}$.

Bài 106: Cho $x,y,z>0$ và $xyz=8$. Tìm GTLN của biểu thức: Q=$\sum \frac{1}{2x+y+6}$


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#212 MrS

MrS

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ

Đã gửi 20-10-2016 - 11:11

Tiếp theo:

Bài 105: Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}$.

$\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}= \sum \frac{2b^2}{\sqrt{4b(2a+b+c)}}\geq \sum \frac{4b^2}{2a+5b+c}\geq \frac{4(a +b+c)^2}{8(a+b+c)}=\frac{3}{2}$



#213 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 20-10-2016 - 19:02

Dưới đây là lời giải khác bài 105 và bài 106:

Lời giải bài 105:

Từ giả thiết ta có: $P=\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a+3}}$.

Áp dụng $AM-GM$ ta có:

$\frac{b\sqrt{b}}{2\sqrt{a+3}}+\frac{b\sqrt{b}}{2\sqrt{a+3}}+\frac{a+3}{16}\ge \frac{3b}{4}$.

Tương tự suy ra:  $\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{a+3}}+\frac{a+b+c+9}{16}\ge \frac{3}{4}(a+b+c)\implies P\ge \frac{3}{2}$.

Lời giải bài 106:

Đặt: $(x;y;z)\to (2a;2b;2c)\implies abc=1$.

$P=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{2a+b+3}$.

Áp dụng BDT quen thuộc: $\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$.

Ta có: $P=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{2a+b+3}=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{(a+b+1)+(a+2)}\le \frac{1}{8}(\sum \frac{1}{a+b+1}+\sum \frac{1}{a+2})$.

Bây giờ ta sẽ đi chứng minh: $\sum \frac{1}{a+b+1}+\sum \frac{1}{a+2}\le 2$.

Ta sẽ tách thành $2$ phần để chứng minh: $\sum \frac{1}{a+b+1}\le 1;\sum \frac{1}{a+2}\le 1$.

Hai BDT trên dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương( Phần CM dành cho bạn đọc).

Từ đây ta tìm được: $Max(P)=\frac{1}{4}$. Dấu $=$ xảy ra tại $(x;y;z)=(2;2;2)$.

 


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#214 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 20-10-2016 - 19:05

Tiếp theo:

Bài 107: Cho các số thực $a,b,c\in [0;1]$ thỏa mãn: $a+b+c=2$. Tìm GTLN của biểu thức: $P=\sum \sqrt{a^2-4a+5}$.

Bài 108: Cho $a,b,c>0$.  Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sum \frac{a+2b}{b+\sqrt{ab}}$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#215 hanguyen445

hanguyen445

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-10-2016 - 16:34

Tiếp theo:

Bài 107: Cho các số thực $a,b,c\in [0;1]$ thỏa mãn: $a+b+c=2$. Tìm GTLN của biểu thức: $P=\sum \sqrt{a^2-4a+5}$.

Bài 108: Cho $a,b,c>0$.  Tìm GTNN của biểu thức: $P=\sum \frac{a+2b}{b+\sqrt{ab}}$.

Đặt $x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}$. 

Hình gửi kèm

  • Capture67.JPG

Đề thi chọn đội tuyển  HSG:

http://diendantoanho...date-2016-2017/

Topic thảo luận bài toán thầy Hùng:

http://diendantoanho...topicfilter=all

Blog Thầy Trần Quang Hùng

http://analgeomatica.blogspot.com/

Hình học: Nguyễn Văn Linh

https://nguyenvanlin...ss.com/2016/09/

Toán học tuổi trẻ:

http://www.luyenthit...chi-thtt-online

Mathlink:http://artofproblemsolving.com

BẤT ĐẲNG THỨC:

http://diendantoanho...-đẳng-thức-vmf/

http://diendantoanho...i-toán-quốc-tế/

 


#216 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1652 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 21-10-2016 - 16:46

Dưới đây là lời giải bài 107 và cách khác bài 108:

Lời giải bài 107:

Đặt $f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}$.

Áp dụng phương pháp tiếp tuyến kết hợp dấu $=$ xảy ra ta đánh giá được:

$f(x)\le (\sqrt{2}-\sqrt{5})x+\sqrt{5}$.

Phần còn lại xin dành cho bạn đọc.

Lời giải bài 108: 

Ta có: $\frac{x^2+2}{x+1}\ge \frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\iff \frac{3(x-1)^2}{4(x+1)}\ge 0(TRUE)$.

$\implies \frac{a+2b}{b+\sqrt{ab}}=\frac{(\sqrt{\frac{a}{b}})^2+2}{\sqrt{\frac{a}{b}}+1}\ge \frac{1}{4}\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{5}{4}\forall a,b>0$.

Tương tự rồi cộng lại ta được: $P\ge \frac{1}{4}(\sum \sqrt{\frac{a}{b}})+\frac{15}{4}\ge \frac{3}{4}+\frac{15}{4}=\frac{9}{2}\forall a,b,c>0.$

Ps: TOPIC: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đăng thức xin tạm hoãn một thời gian vì để dành thời gian cho ôn thi đại học. Mong mọi người thông cảm và TOPIC sẽ được mở lại vào mùa hè năm sau...


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh