Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic: [LTDH] Mỗi ngày hai bất đẳng thức.


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 215 trả lời

#161 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 03-10-2016 - 14:52

Bài 72: anhquannbk đã cho lời giải đúng. Bài 71: Có rất nhiều lời giải đúng từ hanguyen45, Namvip, anhquannbk.

Dưới đây là cách khác bài 71:

Ta có: $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\le 27-3.8abc=27-24abc$.

Như vậy, suy ra: $\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+8\sqrt[3]{abc}\le \sqrt[3]{\frac{27-24abc}{3}}+8\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{9-8abc}+8\sqrt[3]{abc}$.

Đặt $t=abc \implies t\in (0;1]$.

Xét hàm $f(t)=\sqrt[3]{9-8t}+8\sqrt[3]{t}\text{  }\forall t\in (0;1]$.

Ta có: $f'(t)=\frac{8}{3}[\frac{1}{\sqrt[3]{t^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{(9-8t)^2}}]\ge 0\forall t\in (0;1]$.

$\implies f(t)\le f(1)=9\implies Q.E.D$.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#162 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 03-10-2016 - 14:58

Tiếp theo: 

Bài 73: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\sum_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$.

Bài 74: Cho $x,y,z\ge 0$ sao cho không có $2$ số nào cùng bằng không. Chứng minh rằng:

$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{\sqrt{yz}}{y+z}\ge 2$

 


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#163 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-10-2016 - 17:48

Bài 73. Ta có : $\frac{a^2+b^2}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{2a^2+2b^2-(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta suy ra :

\[\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}-(a+b+c)=\sum \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\]

Mặt khác theo bất đẳng thức $\text{Cauchy}$ thì :

\[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)=\frac{\sum (a-b)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}\leq \frac{\sum (a-b)^2}{2(a+b+c)}\]

Do đó ta cần chứng minh :

\[\sum (a-b)^2(\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{2(a+b+c)})\geq 0\]

Do $a,b,c>0$ nên bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

 



#164 Namvip

Namvip

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Vĩnh Phúc

Đã gửi 03-10-2016 - 19:31

Bài 73 : Lời giải khác 

Ta có 

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}$

Lại có 

$(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2\sum (a^{2}+bc)=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}$

mà 

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}\geq 2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

=>$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2(a+b+c)}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$



#165 vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không tồn tại
  • Sở thích:LMHT , ONE PIECE

Đã gửi 03-10-2016 - 20:35

BÀI 74 để ý $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+y^{2}}{xy+yz+zx+y^{2}}$

                     =$\frac{x^{2}+2y^{2}+z^{2}}{(x+y)(y+z)}$

suy ra  VT =$\frac{x^{2}+2y^{2}+z^{2}+(x+y)\sqrt{xy}+(y+z)\sqrt{yz}}{(x+y)(y+z)}$ 

                  $\geq$ $\frac{x^{2}+2y^{2}+z^{2}+2xy+2yz}{(x+y)(y+z)}$

                 =$\frac{(x+y)^{2}+(y+z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

                   $\geq$ 2

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ x=z , y=0



#166 Lequynhdiep

Lequynhdiep

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 04-10-2016 - 20:39

Bài 73. Ta có : $\frac{a^2+b^2}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{2a^2+2b^2-(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}$

Tương tự với các biểu thức còn lại ta suy ra :

\[\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}-(a+b+c)=\sum \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\]

Mặt khác theo bất đẳng thức $\text{Cauchy}$ thì :

\[\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}-(a+b+c)=\frac{\sum (a-b)^2}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+(a+b+c)}\leq \frac{\sum (a-b)^2}{2(a+b+c)}\]

Do đó ta cần chứng minh :

\[\sum (a-b)^2(\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{2(a+b+c)})\geq 0\]

Do $a,b,c>0$ nên bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

tại sao lại nghĩ đến - (a+b/2) vậy ạ?



#167 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-10-2016 - 21:48

Bài 73bài 74: baopbc, Namvip,vpvn đã cho lời giải đúng. 

Mình xin trình bày cách khác bài 74( Dài hơn bạn vpvn).

Đầu tiên đi CM: $\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge \frac{2xy}{(x+y)^2}(*)$.

Thật vậy: $(*)\iff \sqrt{xy}(x+y-2\sqrt{xy})\ge 0(TRUE)$.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=0\text{ hoặc }y=0\text{ hoặc }x=y$.

Tương tự: $\frac{\sqrt{yz}}{y+z}\ge \frac{2yz}{(y+z)^2}$

$\implies \frac{\sqrt{xy}}{x+y}+\frac{\sqrt{yz}}{y+z}\ge \frac{2xy}{(x+y)^2}+\frac{2yz}{(y+z)^2}$.

Vậy ta đi CM: $\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+\frac{2xy}{(x+y)^2}+\frac{2yz}{(y+z)^2}\ge 2$.

$\iff [\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+\frac{4xy}{(x+y)^2}]+ [\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+\frac{4yz}{(y+z)^2}]\ge 4$.

Ta sẽ CM: $\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+\frac{4xy}{(x+y)^2}\ge 2\iff \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}+\frac{4xy}{(x+y)^2}\ge 4$.

$\iff \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}\ge 4[1-\frac{xy}{(x+y)^2}]\iff \frac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}\ge \frac{4(x^2+xy+y^2)}{(x+y)^2}$.

$\iff (x+y+z)^2(x+y)^2\ge 4(xy+yz+zx)(x^2+xy+y^2)\iff (xy+yz+zx+x^2+xy+y^2)^2\ge 4(xy+yz+zx)(x^2+xy+y^2)(TRUE)$.

Tương tự ta có: DPCM


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#168 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 04-10-2016 - 21:58

Tiếp theo:

Bài 75: Cho $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh tam giác thỏa mãn: $a+b+c=3$.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{19}{12}\ge \frac{6(a^4+b^4+c^4)}{7}$

Bài 76: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{1}{3})(\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{1}{3})(\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{1}{3})\ge (\frac{a}{b+c}+\frac{1}{3})(\frac{b}{c+a}+\frac{1}{3})(\frac{c}{a+b}+\frac{1}{3})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 04-10-2016 - 22:04

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#169 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 490 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 05-10-2016 - 12:41

Bài 76:

Đặt $ x=\dfrac{a^2}{b^2+c^2}, y= \dfrac{b^2}{a^2+c^2}, z=\dfrac{c^2}{a^2+b^2}$

$ m=\dfrac{a}{b+c}, n= \dfrac{b}{a+c}, p=\dfrac{c}{a+b}$

Bất đẳng thức cần chứng minh: $ (x+\dfrac{1}{3})(y+\dfrac{1}{3})(z+\dfrac{1}{3}) \ge (m+\dfrac{1}{3})(n+\dfrac{1}{3})(p+\dfrac{1}{3}) $

$ \iff xyz +\dfrac{1}{3}(xy+yz+xz)+\dfrac{1}{9}(x+y+z) \ge mnp + \dfrac{1}{3}(mn+np+pm)+\dfrac{1}{9}(m+n+p)$

Ta một bất đẳng thức quen thuộc sau: $ \dfrac{a^2}{b^2+c^2} + \dfrac{b^2}{a^2+c^2} + \dfrac{c^2}{a^2+b^2} \ge \dfrac{a}{b+c} +\dfrac{b}{a+c} +\dfrac{c}{a+b} $, tức $ x+y+z \ge m+n+p $

Ta chứng minh $ xyz \ge mnp $, tức $ \dfrac{a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} \ge \dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} $

$ \iff (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \ge abc(a+b)(b+c)(c+a) $

$ \iff  c^2(a-b)^2(a^2+ab+b^2) + b^2(a-c)^2(a^2+ac+c^2)+ a^2(b-c)^2(b^2+bc+c^2) \ge 0 $ (đúng)

Tương tự ta chứng minh được $ xy+yz+xz \ge mn+mp+np $

suy ra đpcm.



#170 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 05-10-2016 - 15:07

Bài 76: anhquannbk đã cho lời giải đúng. Dưới đây là lời giải bài 75:

Với $a,b,c$ là ba cạnh tam giác ta có bất đẳng thức quen thuộc sau:

 $2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\ge 0$

$\implies (a^2+b^2+c^2)^2\ge 2(a^4+b^4+c^4)$.

Ta cần chứng minh: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{19}{12}\ge \frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{7}$.

Đặt $(a;b;c)\to (y+z;z+x;x+y)\implies x,y,z>0;x+y+z=\frac{3}{2}$.

Bất đẳng thức trở thành: $\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}+\frac{19}{12}\ge \frac{12(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)^2}{7}$.

Đặt $4(xy+yz+zx)=t\implies 3\ge t>0$.

Ta có: $x^2+y^2+z^2+xy+zx+xy=(x+y+z)^2-(xy+yz+zx)=\frac{9-t}{4}$.

Nhân cả $2$ vế với $x+yz$: $(x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y})=3+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$

$\ge 3+\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}=1+\frac{9}{t}$.

Ta chỉ cần CM: $\frac{9}{t}+\frac{27}{8}\ge \frac{9(9-t)^2}{56}\iff (t-2)^2(t-14)\le 0$.

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#171 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 05-10-2016 - 15:15

Tiếp theo: 

Bài 77: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$.

Bài 78: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x\le z$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\sqrt{2+\frac{2x^2}{(x+y)^2}-\frac{2z(2y+z)}{(y+z)^2}}+\frac{3z}{z+x}$.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#172 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 06-10-2016 - 17:44

Dưới đây là lời giải bài 77 và bài 78:

Lời giải bài 77:

Ta có: $\frac{1}{1+ab}=1-\frac{ab}{ab+1}\ge 1-\frac{\sqrt{ab}}{2}$.

$\implies \sum \frac{1}{1+ab}\ge 3-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=3-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2-a-b-c}{4}.$

Ta cân chứng minh: $\frac{15}{4}-\frac{(\sum \sqrt{a})^2}{4}\ge \frac{9}{2\sqrt{a}}$.

Đặt $t=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$. Để ý rằng: $\sqrt{a+b+c}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3(a+b+c)}$.

Nên: $\sqrt{3}<t\le 3$. Khi đó BDT cần chứng minh viết lại thành:

$\frac{15}{4}-\frac{t^2}{4}\ge \frac{9}{2t}\iff (t-3)(t-\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2})(t+\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2})\le 0$.

Dễ thấy: $\sqrt{3}>\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2}\implies Q.E.D$.

Lời giải bài 78:

Viết P lại dưới dạng: $P=\sqrt{2(\frac{x^2}{(x+y)^2})+\frac{y^2}{(y+z)^2}}+\frac{3z}{z+x}\ge \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{3z}{z+x}$.

Đặt: $(\frac{x}{y};\frac{z}{y})\to (a;b)(a\le b)$.

Như vậy thì ta có: $P\ge \frac{a}{a+1}+\frac{1}{1+b}+\frac{3b}{a+b}=f(a,b)$.

Đến đây có nhiều cách giải: Có thể đạo hàm hoặc chứng minh trực tiếp:

$f(a,b)-\frac{5}{2}=\frac{(b-a)(3ab+a+b+3)}{2(a+b)(a+1)(b+1)}\ge 0$.

Vậy $P_{min}=\frac{5}{2}$. Đẳng thức xảy ra tại: $x=z$.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#173 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 06-10-2016 - 17:48

Tiếp theo:

Bài 79: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. Chứng minh rằng:

$P=\sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}\ge \frac{3}{2}$.

Bài 80: Cho $a \ge b\ge c>0$. Chứng minh rằng: $P=\frac{(3ab+bc)^2}{b^4}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac}\ge 27$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-10-2016 - 17:49

Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#174 vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không tồn tại
  • Sở thích:LMHT , ONE PIECE

Đã gửi 06-10-2016 - 20:11

nhận xét $2\sqrt{1+8y^{3}}\leq 2+4y^{2}$ (am gm)

$\Rightarrow$ P $\geq \sum \frac{x}{y(y^{2}+x)}$ =$\sum \frac{1}{y}-\sum \frac{y}{x+y^{2}}$

$\geq \sum \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{x}}$ (do x+y2 $\geq$ 2y$\sqrt{x}$) 

mà $\sum \frac{1}{\sqrt{x}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{1}{x})}$

$\Rightarrow$ P $\geq \sum \frac{1}{x}-\frac{1}{2}\sqrt{3(\sum \frac{1}{x})}$ và $\sum \frac{1}{x}\geq 3$ $\Rightarrow$ P $\geq$ $\frac{3}{2}$



#175 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 06-10-2016 - 21:39

Bài 80: Cho $a \ge b\ge c>0$. Chứng minh rằng: $P=\frac{(3ab+bc)^2}{b^4}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac}\ge 27$.

 

$\frac{(3ab+bc)^2}{b^4}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac}\geq 27\Leftrightarrow \frac{(3a+c)^2}{b^2}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac}\geq 27$

 

$\Leftrightarrow  \frac{9a^{2}+6ac+c^{2}}{b^2}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac}\geq 27$

 

Mà vì $a\geq b\geq c>0 \Rightarrow 9a^{2}\geq a^{2}+b^{2}+2ac+5b^{2}$

 

$\Rightarrow \frac{9a^{2}+6ac+c^{2}}{b^2}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ac+5b^{2}}{b^2}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac}\geq 5+\left (\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+8ac}{b^2}+\frac{121b^2}{a^2+b^2+c^2+8ac} \right )\geq 27$    (Am-Gm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 06-10-2016 - 21:41

:huh:

#176 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 06-10-2016 - 22:01

Bài 79: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. Chứng minh rằng:

$P=\sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}\ge \frac{3}{2}$.

 

Nhìn qua chắc hướng bạn trên đúng rồi, mình trình bày rõ ra cho mọi người dễ đọc, bạn trình bày hơi khó nhìn

 

$.\sqrt{1+8y^3}=\sqrt{(1+2y)(1-2y+4y^{2})}\leq \sqrt{\frac{(1+2y+1-2y+4y^{2})}{4}}=2y^{2}+1$

 

$ \Rightarrow 0<y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)\leq y(2(2y^{2}+1)+4x-2)=4y(y^{2}+x)$

 

$\Rightarrow \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}\geq \frac{x}{y(y^{2}+x)}\Rightarrow \sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}\geq \sum \frac{x}{y(y^{2}+x)}$

 

$\frac{x}{y(y^{2}+x)}= \frac{x+y^{2}-y^{2}}{y(y^{2}+x)}=\frac{1}{y}-\frac{y}{y^{2}+x}\geq \frac{1}{y}-\frac{y}{2y\sqrt{x}}\geq \frac{1}{y}-\frac{1}{8}(\frac{1}{x}+1)$                                                                                                                                                                               (Am-Gm)

 

$\Rightarrow  \sum \frac{x}{y(y^{2}+x)} \geq \sum  \left [\frac{1}{y}-\frac{1}{8}(\frac{1}{x}+1)  \right ]\geq \frac{9}{4} $     (Do $x+y+z=3$) (C-S)

 

...................


:huh:

#177 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 07-10-2016 - 17:12

Hai bài 79 và 80: vpvnPlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Bài 82: Cho $a,b$ là các số dương và thỏa mãn: $a^2+b^2=a+b$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3a+2b+\frac{16}{\sqrt{a+3b}}+\frac{16}{\sqrt{3a+1}}$


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che

#178 Nam Antoneus

Nam Antoneus

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lương Thế Vinh
  • Sở thích:Trinh thám

Đã gửi 07-10-2016 - 19:59

Bài 82: Cho $a,b$ là các số dương và thỏa mãn: $a^2+b^2=a+b$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3a+2b+\frac{16}{\sqrt{a+3b}}+\frac{16}{\sqrt{3a+1}}$

$P=(a+3b+\frac{8}{\sqrt{a+3b}}+\frac{8}{\sqrt{a+3b}})+(3a+1+\frac{8}{\sqrt{3a+1}}+\frac{8}{\sqrt{3a+1}})-a-b-1$

$P\geqslant 3\sqrt[3]{(a+3b).\frac{8}{\sqrt{a+3b}}.\frac{8}{\sqrt{a+3b}}}+3\sqrt[3]{(3a+1).\frac{8}{\sqrt{3a+1}}.\frac{8}{\sqrt{3a+1}}}-a-b-1$

$P\geqslant 3.4+3.4-a-b-1=23-(a+b)$

Lại có: $(a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2)=2(a+b)\Leftrightarrow a+b\leq 2$

Vậy $P\geq 21$



#179 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 08-10-2016 - 12:39

Hai bài 79 và 80: vpvnPlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#180 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1756 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:$\href{https://www.youtube.com/watch?v=YNlEDsIQxWU}{Đây}$

Đã gửi 08-10-2016 - 22:33

Bài 81 và 82: Nam AntonuesNTA 1907 đã cho lời giải đúng. MÌnh xin tiếp tục:

Bài 83: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+6z^2=4z(x+y)$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$.

Bài 84: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $ab\ge \frac{7}{3}$ và $3a+57b+7c=3abc+\frac{100}{a}$. Tìm GTNN của: $P=a+b+c$.


Yêu quê hương thương nhân loại núi sông cảm mến
Hiểu Thánh triết biết nghĩa nhân trời đất chở che




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh