Dưới đây là lời giải bài 29,bài 30 và bài 30*:
Lời giải bài 29:
Đặt $t=\frac{z}{x}$. Theo $AM-GM$ ta có:
$2+\frac{x}{z}=\frac{z}{x}+(\frac{x}{y})^4+(\frac{y}{z})^4\ge \frac{z}{x}+\frac{2z^2}{x^2}\iff t+\frac{2}{t^2}\le 2+\frac{1}{t}\iff t^3-2t^2-t+2\le 0\iff t\in [1;2]$.
Viết lại $P$ ta có: $P=4-(\frac{2x^2}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{y^2+z^2}+\frac{3z}{2x+z})=4-Q$.
Ta đi tìm GTNN của Q.
Ta có: $\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2}=\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}+\frac{1}{1+(\frac{z}{y})^2}\ge \frac{2}{1+\frac{z}{x}}\text{(do} \frac{z}{x}\ge 1)$.
(Áp dụng BDT quen thuộc: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge \frac{2}{1+ab}\forall ab\ge 1$).
Suy ra: $Q\ge \frac{4}{1+\frac{z}{x}}+\frac{3*\frac{z}{x}}{2+\frac{z}{x}}=\frac{4}{1+t}+\frac{3t}{t+2}$.
Xét hàm số: $f(t)=\frac{4}{t+1}+\frac{3t}{t+2};t\in [1;2]$.
Ta tìm được $GTNN$ của $Q$ bằng $\frac{17}{6}$.Đạt được khi $t=2$.
Vậy $GTLN$ của $P$ là $\frac{7}{6}$.Đẳng thức xảy ra khi:$\left\{\begin{matrix} x=a\\y=\sqrt{2}a\\z=2a \end{matrix}\right.$
Lời giải bài 30:
Theo giả thiết, ta có: $x+y-z\ge 1\implies x+y\ge 1+z$.
Ta có: $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}=\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^2}$.
Áp dụng BDT BCS ta có: $B\ge \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2}(1)$.
Đặt $t=x+y,$ theo giả thiết ta có: $1+z\le t\le 2;xy\le \frac{t^2}{4}(2)$.
Thoe $(1),(2)$, ta suy ra được: $B\ge \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$.
Xét hàm số:$f(t)$ trên $[1+z;2]$ ta có:
$f'(t)=4zt[\frac{t}{(t^2+2zt)^2}-\frac{2}{(t^2+4z^2)^2}]$.
Mặt khác do $t\ge z+1;z\le 1$ nên $2zt\ge 4z^2$
$\implies \frac{t}{(t^2+2zt)^2}\le \frac{2}{(t^2+4z^2)^2}$
$\implies f(t)$ nghịch biến với mọi $t\in [z+1;2]\implies f(t)\ge f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$.
Ta sẽ khảo sát hàm số: $g(z)$ trên $(0;1]$. Ta có: $g'(z)=-\frac{2}{(1+z)^2}+\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2}\le 0\forall z\in (0;1]$
$\implies g(z)\ge g(1)=\frac{3}{2}$.
Vậy $Min_B=\frac{3}{2}$. Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$.
Lời giải bài 30*:
Ta có: $2P=2x^4+16y^4+128z^4$.
Ta sẽ đi chứng minh:
$2x^4\ge \frac{13824x}{343}-\frac{124416}{2401}(1)$
$16y^4\ge \frac{13824y}{343}-\frac{62208}{2401}(2)$.
$128z^4\ge \frac{13824z}{343}-\frac{31104}{2401}(3)$
Thật vậy:
$(1)\iff (7x-12)^2(98x^2+336x+864)\ge 0\forall x$
$(2)\iff (7x-6)^2(784y^2+1344y+1728)\ge 0\forall y$
$(3)\iff (7z-3)^2(6272z^2+5376z+3456)\ge 0\forall z$.
Cộng $(1),(2),(3)$ vế theo vế ta được:
$2P\ge \frac{13824}{343}(x+y+z)-\frac{31104}{343}=\frac{10368}{343}$
$\iff P\ge \frac{5184}{343}$.
Vậy $P_{min}=\frac{5184}{343}$.Dấu $=$ xảy ra tại $x=\frac{12}{7},y=\frac{6}{7},z=\frac{3}{7}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 22-08-2016 - 08:04