Lời giải của MrS và hanguyen445 chuẩn rồi. Dưới đây là hai lời giải khác của bài 47 và bài 48:
Lời giải bài 47: Một cách tự nhiên, ta đặt: $x=\frac{b}{a}>0;y=\frac{c}{a}>0$. Điều kiện được viết lại thành:
$(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{y})(3+2x+y)=30(1)$.
Viết $P$ lại dưới dạng: $P=x+2y-7\sqrt{72+y^2}$.
Bây giờ điều khó khăn là xử lí biểu thức căn thức. Làm thế nào để mất căn thức đi? Ta sẽ áp dụng BCS:
$(72+y^2)(8+1)\ge (24+y)^2$.
Vậy nên: $\sqrt{72+y^2}\ge \frac{y+24}{3}(*)$.
Suy ra: $P\le x-\frac{y}{3}-56$. Bây giờ ta cần tìm đánh giá cho $P$. Thử nhìn lại giả thiết, gợi ý cho ta:
Ta có: $(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+1)(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+1)\ge 9$.
Kết hợp với $(1):30\ge \frac{9(3+2x+y)}{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+1}$.
Hay là: $x-\frac{y}{3}\le 1$.
Như vậy: $P\le x-\frac{y}{3}-56\le 1-56=-55$.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=1;b=2;c=3$.
Ps: Để đánh giá được $(*)$. Việc nhẩm dấu $=$ xảy ra là một trong những kĩ năng vô cùng quan trọng để đánh giá.
Lời giải bài 48: Ý tưởng vẫn là làm mất căn thức. Để làm được điều đó, ta có đánh giá sau:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\ge \frac{2\sqrt{2}a}{2a+b+c}=\frac{2\sqrt{2}ab}{2ab+b^2+ac}$.
Tương tự rồi cộng lại ta có: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge \sum \frac{2\sqrt{2}ab}{2ab+b^2+ac}\to P$.
Áp dụng $BCS$ ta có: $P\ge \frac{2\sqrt{2}(\sum \sqrt{ab})^2}{\sum (a^2+3ab)}$.
Lại có: $\sum (a^2+3ab)\le \frac{4(a+b+c)^2}{3}(**)$.
Suy ra: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge \frac{3\sqrt{2}(\sum \sqrt{ab})^2}{2(a+b+c)^2}$.
Đặt $t=\frac{\sqrt{2}(a+b+c)}{\sum \sqrt{ab}}(t \le \sqrt{2})$.
Ta đưa về khảo sát: $f(t)=t+\frac{3\sqrt{2}}{t^2}$. Dễ dàng chứng minh được: $P\ge \frac{5}{\sqrt{2}}$.
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.
Ps: Các bạn cần lưu ý $BDT(**)$ và xem nó như bổ đề quan trọng.