Dưới đây là cách khác bài 95 và lời giải bài 96:
Lời giải bài 95: Ta có: $(x+y)^2\le 2(x^2+y^2)=4\implies -2\le x+y\le 2$.
Khi đó: $M=x^2(x+2)+y^2(y+2)+3(x+y)(xy-4)=(x+y)^3-12(x+y)+4$.
Đặt $t=x+y,t\in [-2;2]$. Ta có: $f(t)=t^3-12t+4;f'(t)=3t^2-12\le 0\forall t\in [-2;2]$.
Do đó: $f(t)$ giảm. Suy ra: $Max(M)=f(-2)=20\iff t=-2\iff x=y=-1$ và $MIn(M)=f(2)=-12\iff t=2\iff x=y=1$.
Lời giải bài 96: KMTTQ, giả sử: $x\ge y\ge z\implies 1\le z\le 670$.
Khi đó, sử dụng $BCS$ với $x,y,z+1$, ta được:
$2013^2=[x+y+(z+1)^2]\ge 3[xy+y(z+1)+(z+1)x]$.
$\implies 2013^2\ge 3(M+x+y)=3(M+2012-z)\ge 3(M+2012-670)$.
$\implies M\le \frac{2013^2}{3}-(20112-670)=1349381$.
Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=671;z=670$. Vậy $Max(M)=1349381$.
Tìm Min(M):
Ta có: $M(x,y,z)=xy+yz+zx\forall x,y,z\in \mathbb{N}^*$.
Nhận xét: Nếu $z\ge 2$ thì:
$M(x+1,y,z-1)=(x+1)y+y(z-1)+(z-1)(x+1)=M(x,y,z)+z-x-1<M(x,y,z)$.
Vậy nên: $M(x,y,z)>M(x+1,y,z-1)$.
Tương tự, khi $y\ge 2$ thì:
$M(x+1,y-1,1)=(x+1)(y-1)+y(z-1)+(z-1)(x+1)=xy+x+y+(y-x-1)<xy+x+y=M(x,y,1)$.
Vậy nên $M(x,y,z)>M(2010,1,1)$ ứng với mọi $z>1$ hoặc $y=1$.
Suy ra $min(M)=M(2010,1,1)=4021$.
(Ps: Đây là một trong những kĩ thuật hay dùng đối với những bài toán có dữ kiện là các số nguyên dương, mọi người cần đọc rõ và hiểu kĩ thì mới thấy được nét độc đáo của kĩ thuật này.)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 15-10-2016 - 18:07