Em có một số suy nghĩ như này.
Hoàn toàn có thể dùng góc định hướng cho lời giải chặt chẽ.
Đây lại là một bài toán đường tròn tiếp xúc mà không lộ tiếp điểm, và kiểu bài toán này có lẽ cũng không còn hiếm, khi mà trong chứng minh, tiếp điểm thường là điểm Miquel của một tứ giác toàn phần nào đó. Các bước giải quyết của kiểu bài này có lẽ chỉ cần chứng minh được hai đường tròn cần chứng minh tiếp xúc đi qua điểm Miquel và rồi cộng góc để chứng minh chúng tiếp xúc.
Như bài toán trên đây, các tứ giác toàn phần $(BC,CA,AB,EF)$ và $(BC,CA,AB,MN)$ có chung điểm Miquel $T$ (Cách kí hiệu tứ giác toàn phần này không quen thuộc nhưng chính tắc và không phụ thuộc hình vẽ, không cần tới thứ tự đỉnh). Có được điểm Miquel chung đó là nhờ $\dfrac{\overline{BN}}{\overline{BF}}=\dfrac{\overline{CM}}{\overline{CE}}$.
Nếu như đặt ra vấn đề sau:
Vấn đề 1. Cho trước $\triangle ABC$. $E$, $M$ thuộc $AC$, $F$, $N$ thuộc $AB$ sao cho $\dfrac{\overline{BN}}{\overline{BF}}=\dfrac{\overline{CM}}{\overline{CE}}$. Lúc này thì ta hoàn toàn chắc chắn $(ABC)$ và tam giác tạo bởi các đường thẳng $BC$, $MN$, $EF$ có điểm chung là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $(BC,CA,AB,EF)$ - có điểm chung là một điều kiện cần để có sự tiếp xúc.
Tìm điều kiện của $E$, $F$, $M$, $N$ để $(ABC)$ và đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi các đường thẳng $BC$, $MN$, $EF$ tiếp xúc nhau.
Cách giải quyết chính là phát biểu của bài toán của thầy, thậm chí đó còn là phát biểu tốt vì hoàn toàn dựng bằng hình học. Nhưng chưa dừng lại ở đó, em nghĩ tới vấn đề tổng quát hơn nữa như sau
Vấn đề 2. Cho trước $\triangle ABC$. $E$, $M$, $X$ thuộc $AC$, $F$, $N$, $Y$ thuộc $AB$ sao cho $\dfrac{\overline{BN}}{\overline{BF}}=\dfrac{\overline{CM}}{\overline{CE}}$, $\dfrac{\overline{BN}}{\overline{BY}}=\dfrac{\overline{CM}}{\overline{CX}}$. Như vậy là ta cũng có $(ABC)$ và đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi ba đường thẳng $MN$, $EF$, $XY$ có điểm chung là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $(BC,CA,AB,EF)$.
Tìm điều kiện của $E$, $F$, $M$, $N$, $X$, $Y$ sao cho $(ABC)$ và đường tròn ngoại tiếp của tam giác tạo bởi ba đường thẳng $MN$, $EF$, $XY$ tiếp xúc nhau.
Sẽ thật tuyệt nếu có một điều kiện mà có thể phát biểu một cách đơn giản, sơ cấp, sẽ càng hay hơn nếu chỉ dựng bằng các tính chất hình học(em dựng bằng parabola 
). Vấn đề 2 là kiểu bài tổng quát nhất có thể cho dạng bài hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm Miquel.
Em cho rằng nếu giải quyết vấn đề 2 thì có thể khép lại kiểu bài này MỘT LẦN VÀ MÃI MÃI và có thể chế biến được nhiều thứ.
Em rất mong thầy và các bạn quan tâm tìm hiểu.
Solved
